Question

14．如圖，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，點(diǎn)F為BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把△ABF沿AF折疊．當(dāng)點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′落在矩形ABCD的對(duì)稱(chēng)軸上時(shí)，則BF的長(zhǎng)為$2\sqrt{3}$或$9-3\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 分兩種情況考慮：B′在橫對(duì)稱(chēng)軸上與B′在豎對(duì)稱(chēng)軸上，分別求出BF的長(zhǎng)即可．

解答 解：當(dāng)B′在橫對(duì)稱(chēng)軸上，此時(shí)AE=EB=3，如圖1所示，

由折疊可得△ABF≌△AB′F，
∴∠AFB=∠AFB′，AB=AB′=6，BF=B′F，
∴∠B′MF=∠B′FM，
∴B′M=B′F，
∵EB′∥BF，且E為AB中點(diǎn)，
∴M為AF中點(diǎn)，即EM為中位線，∠B′MF=∠MFB，
∴EM=$\frac{1}{2}$BF，
設(shè)BF=x，則有B′M=B′F=BF=x，EM=$\frac{1}{2}$x，即EB′=$\frac{3}{2}$x，
在Rt△AEB′中，根據(jù)勾股定理得：3²+（$\frac{3}{2}$x）²=6²，
解得：x=2$\sqrt{3}$，即BF=2$\sqrt{3}$；
當(dāng)B′在豎對(duì)稱(chēng)軸上時(shí)，此時(shí)AM=MD=BN=CN=4，如圖2所示：

設(shè)BF=x，B′N(xiāo)=y，則有FN=4-x，
在Rt△FNB′中，根據(jù)勾股定理得：y²+（4-x）²=x²，
∵∠AB′F=90°，
∴∠AB′M+∠NB′F=90°，
∵∠B′FN+∠NB′F=90°，
∴∠B′FN=∠AB′M，
∵∠AMB′=∠B′N(xiāo)F=90°，
∴△AMB′∽△B′N(xiāo)F，
∴$\frac{AM}{B′N(xiāo)}$=$\frac{AB′}{B′F}$，即$\frac{4}{y}$=$\frac{6}{x}$，
∴y=$\frac{2}{3}$x，
∴（$\frac{2}{3}$x）²+（4-x）²=x²，
解得x₁=9+3$\sqrt{5}$，x₂=9-3$\sqrt{5}$，
∵9+3$\sqrt{5}$＞4，舍去，
∴x=9-3$\sqrt{5}$
所以BF的長(zhǎng)為$2\sqrt{3}$或$9-3\sqrt{5}$，
故答案為$2\sqrt{3}$或$9-3\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了折疊的性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，注意分兩種情況解答此題．