Question

如圖，點(diǎn)P在y軸上，⊙P交x軸于A，B兩點(diǎn)，連接AP并延長(zhǎng)交⊙P于C點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C的直線y=-2x+b交x軸于點(diǎn)D，交y軸于點(diǎn)E，且⊙P的半徑為

5

，AB=4．
（1）求點(diǎn)P，點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）求證：CD是⊙P的切線；
（3）若二次函數(shù)y=-

1

2

x²+mx+n的圖象經(jīng)過(guò)A，C兩點(diǎn)，求這個(gè)二次函數(shù)的解析式，并寫(xiě)出使函數(shù)值大于一次函數(shù)y=-2x+b值的x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）連接CB，根據(jù)已知及勾股定理等即可求解；
（2）只要證明∠ACD=90°即可得到DC是⊙P的切線．
（3）把A，C兩點(diǎn)代入解析式求出未知數(shù)的值，進(jìn)而求出其解析式；可求二次函數(shù)y=-

1

2

x²+

1

2

x+3與一次函數(shù)y=-2x+6的交點(diǎn)C和D，由此可知，滿足條件的x的取值范圍．

解答：（1）解：如圖，連接CB，
∵OP⊥AB，
∴OB=OA=2．（1分）
∵OP²+AO²=AP²
∴OP²=5-4=1，OP=1，（2分）
∵AC是⊙P的直徑，
∴∠ABC=90°．
∵CP=PA，BO=OA，
∴BC=2PO=2．
∴P（0，1），C（2，2）．（3分）

（2）證明：
方法一：∵y=-2x+b過(guò)C點(diǎn)，
∴b=6．
∴y=-2x+6．（4分）
∵當(dāng)y=0時(shí)，x=3，
∴D（3，0）．
∴BD=1．
∵OA=BC=2PO=BD=1，∠AOP=∠CBD，
∴△AOP≌△CBD．
∴∠PAO=∠DCB．
∵∠PAO+∠ACB=90°，
∴∠ACB+∠DCB=90°．
∴∠ACD=90°．
∴DC是⊙P的切線．（6分）
方法二：∵直線y=-2x+b過(guò)C點(diǎn)（2，2），
∴y=-2x+6．（4分）
又∵直線y=-2x+6交x軸于點(diǎn)D，y軸于點(diǎn)E，
∴D（3，0），E（0，6）．
∴OD=3OE=6．
∴

OE

OD

=

AO

OP

=2．
又∵∠AOP=∠EOD，
∴△AOP∽△EOD．
∴∠APO=∠EDO．
又∵∠APO+∠PAO=90°，
∴∠EDO+∠PAO=90°．
∴∠ACD=90°．
∴CD是⊙O的切線．（6分）

（3）解：∵y=-

1

2

x²+mx+n過(guò)A（-2，0）和C（2，2），
∴

-2-2m+n=0 -2+2m+n=2

解得

m= 1 2 n=3

，
∴這個(gè)二次函數(shù)的解析式為y=-

1

2

x²+

1

2

x+3．（8分）
可求二次函數(shù)y=-

1

2

x²+

1

2

x+3與一次函數(shù)y=-2x+6的交點(diǎn)C（2，2）和D（3，0），
由此可知，滿足條件的x的取值范圍為2＜x＜3．（10分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查的是用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式及圓的相關(guān)知識(shí)，涉及面較廣．