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5.如圖,拋物線y=-18x2+12x+4與y軸交于點(diǎn)A、與x軸分別交于B、C兩點(diǎn).
(1)求A、B兩點(diǎn)坐標(biāo);
(2)將Rt△AOB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADE,求點(diǎn)E的坐標(biāo);
(3)求出第一象限內(nèi)的拋物線上與直線AE距離最遠(yuǎn)的點(diǎn)的坐標(biāo).

分析 (1)分別令x=0,y=0可求得點(diǎn)A、B的坐標(biāo);
(2)由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)可求得OA、OB的長(zhǎng),然后由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得到點(diǎn)E的坐標(biāo);
(3)延長(zhǎng)AE交拋物線與點(diǎn)M,過點(diǎn)P作PN⊥x軸,交直線AE與點(diǎn)N,過點(diǎn)P作PW⊥AE垂足為W.先求得直線AE的解析式,然后求得點(diǎn)M的坐標(biāo),設(shè)點(diǎn)P(t,-18t2+12t+4),則N(t,-t+4),可求得PN=-18t2+32t.從而得到△APM的面積與t的函數(shù)關(guān)系式,利用配方法可求得△APM的最大值,以及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

解答 解:(1)∵當(dāng)x=0時(shí),y=4,
∴A(0,4).
∵當(dāng)y=0時(shí),-18x2+12x+4=0,
∴x1=-4,x2=8.
∴B(-4,0).
(2)由(1)得OA=OB=4,
∵將△ABO逆時(shí)針繞A旋轉(zhuǎn)90°得到△ADE,
∴∠ADE=90°,DE=AD=4.
∴點(diǎn)D(4,4).
∴E(4,0).
(3)如圖所示:延長(zhǎng)AE交拋物線與點(diǎn)M,過點(diǎn)P作PN⊥x軸,交直線AE與點(diǎn)N,過點(diǎn)P作PW⊥AE垂足為W.

設(shè)直線AE的解析式為y=kx+b.
∵將A(0,4),B(,0)代入得:{b=44k+b=0,解得:{k=1b=
∴直線AE的解析式為y=-x+4.
∵將y=-x+4與y=-18x2+12x+4聯(lián)立解得:{x1=0y1=4,{x2=12y2=8,
∴M(12,-8).
設(shè)點(diǎn)P(t,-18t2+12t+4),則N(t,-t+4),PN=-18t2+12t+4-(-t+4)=-18t2+32t.
S△APM=12PN•xM=12×12×(-18t2+32t)=-34t2+9t=-34(t-6)2+27.
∴當(dāng)t=6時(shí),△APM的面積最大.
∴當(dāng)t=6時(shí),y=-18×62+12×6+4=52
∴P(6,52).
∵當(dāng)△APM面積最大時(shí),PW最大,
∴直線AE最遠(yuǎn)的點(diǎn)的坐標(biāo)為P(6,52).

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用,解答本題主要應(yīng)用了函數(shù)解析式與點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系、待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、一次函數(shù)與二次函數(shù)的交點(diǎn)、配方法求二次函數(shù)的最值、三角形的面積公式、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),列出三角形APM的面積與點(diǎn)P的橫坐標(biāo)t之間的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.

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