Question

如圖，∠CAB=∠ABD=90°，AB=AC+BD，AD交BC于P，作⊙P與AB相切．
試問：以AB為直徑作出的⊙O與⊙P的位置關系怎樣？請作出判斷并加以證明．

Answer 1

解：⊙O與⊙P相內(nèi)切．
理由：如圖：若AB與⊙P切于Q，連接PQ，
∴PQ⊥AB，
設PQ=r，AC=a，BD=b，
∵∠CAB=∠ABD=90°，
∴AC∥DB，
∴△BPQ∽△BCA，△APQ∽△ADB，
∴=，=，
∴=，
∴r=，
∵⊙O的半徑R=，
∴Rr=，
∴AQ===a，
∴OQ=-a=，
連接PO
則PO===-=R-r．
∴⊙O與⊙P相內(nèi)切．
分析：首先設PQ=r，AC=a，BD=b，易證得△BPQ∽△BCA，△APQ∽△ADB，得到 =，=，故可求得r的值；然后⊙O的半徑R=，⊙P的半徑為r=，可得到AQ===a，OQ=-a=，連接PO，由勾股定理得到PO=R-r，故⊙O與⊙P相內(nèi)切．
點評：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，圓與圓的位置關系等知識．此題綜合性較強，難度較大，解題的關鍵是注意數(shù)形結合思想的應用，注意輔助線的作法．