Question

3．如圖，已知AF=AB，∠FAB=60°，AE=AC，∠EAC=60°，CF和BE交于O點，則下列結(jié)論：①CF=BE；②∠AMO=∠ANO；③OA平分∠FOE；④∠COB=120°，其中正確的有（　�。�

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 如圖先證明△ABE≌△AFC，得到BE=CF，S_△ABE=S_△AFC，得到AP=AQ，利用角平分線的判定定理得AO平分∠EOF，再利用“8字型”證明∠CON=∠CAE=60°，由此可以解決問題．

解答 解：∵△ABF和△ACE是等邊三角形，
∴AB=AF，AC=AE，∠FAB=∠EAC=60°，
∴∠FAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，
即∠FAC=∠BAE，
在△ABE與△AFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AF}\\{∠BAE=∠FAC}\\{AE=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△AFC（SAS），
∴BE=FC，故①正確，∠AEB=∠ACF，
∵∠EAN+∠ANE+∠AEB=180°，∠CON+∠CNO+∠ACF=180°，∠ANE=∠CNO
∴∠CON=∠CAE=60°=∠MOB，
∴∠BOC=180°-∠CON=120°，故④正確，
連AO，過A分別作AP⊥CF與P，AM⊥BE于Q，如圖，
∵△ABE≌△AFC，
∴S_△ABE=S_△AFC，
∴$\frac{1}{2}$•CF•AP=$\frac{1}{2}$•BE•AQ，而CF=BE，
∴AP=AQ，
∴OA平分∠FOE，所以③正確，
∵∠AMO=∠MOB+∠ABE=60°+∠ABE，∠ANO=∠CON+∠ACF=60°+∠ACF，
顯然∠ABE與∠ACF不一定相等，
∴∠AMO與∠ANO不一定相等，故②錯誤，
綜上所述正確的有：①③④．
故選C．

點評 本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的判定定理等知識，利用全等三角形面積相等證明高相等是解決問題的關(guān)鍵，屬于中考常考題型．