如圖,在△ABC中,∠C=,CM⊥AB于M,AT是△ABC的角平分線,且交CM于D,DE∥AB且交BC于E.求證:CT=BE.
證明:過T作TF⊥AB于F,則 ∵CM⊥AB,TF⊥AB, ∴TF∥CM. ∴∠2=∠3,∠4=∠5 又∵AT平分∠BAC,TF⊥AB,TC⊥AC, ∴TF=TC,∠1=∠2. ∴∠1=∠3,TC=DC. ∴CD=TF. 在Rt△CDE和Rt△TFB中, ∠4=∠5,∠B=∠DEC,CD=TF. ∴△CDE≌△TFB. ∴CE=TB. ∴CE-TE=TB-TE. 即CT=BE. |
點悟:由于CT和BE不在同一個三角形中,也不分屬于兩個三角形,故應(yīng)添加輔助線,構(gòu)造全等圖形.由AT平分∠BAC及∠ACB=可想到作TF⊥AB于F.若能證△CDE≌△TFB,則CE=TB,就得到CT=BE.而△CDE與△TFB能全等嗎?這需要證明CD=FT.由∠1=∠2,∠2=∠3易得到∠1=∠3.故有CD=CT.命題得證. 點撥:在證明線段相等時,如果一條線段在一個三角形中,而另一條線段不在三角形中,常構(gòu)造三角形,得到全等形,以便解決問題. |
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A、
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D、
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