Question

11．已知：如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CM是斜邊AB上的中線．
（1）過點M作CM的垂線與AC和BD的延長線分別交于點D和點E，求證：△CDM∽△ABC；
（2）過點M直線與AC和CB的延長線交于點D和點E，如果$\frac{DM}{MC}$=$\frac{AM}{ME}$，求證：CM⊥DE．

Answer 1

分析 （1）由在△ABC中，∠ACB=90°，CM是斜邊AB的中線，根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，可得CM=AM=BM=$\frac{1}{2}$AB，即可證得∠A=∠ACM，繼而證得△CDM∽△ABC；
（2）根據(jù)已知條件得到$\frac{DM}{BM}=\frac{AM}{ME}$，由于∠AMD=∠BME，得到△ADM∽△BEM，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到∠A=∠E，等量代換得到∠E=∠ACM，求得∠E+∠ECM=90°，即可得到結論．

解答 證明：（1）∵在△ABC中，∠ACB=90°，CM是斜邊AB的中線，
∴CM=AM=BM=$\frac{1}{2}$AB，
∴∠A=∠ACM，
∵CM⊥DE，
∴∠CMD=∠ACB=90°，
∴△CDM∽△ABC；

（2）∵$\frac{DM}{MC}$=$\frac{AM}{ME}$，CM=AM=BM，
∴$\frac{DM}{BM}=\frac{AM}{ME}$，
又∵∠AMD=∠BME，
∴△ADM∽△BEM，
∴∠A=∠E，
又∵∠A=∠ACM，
∴∠E=∠ACM，
又∵∠ACM+∠ECM=90°，
∴∠E+∠ECM=90°，
∴∠CME=90°，
∴CM⊥DB．

點評 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊的中線的性質(zhì)，垂直的定義，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關鍵．