Question

若a，b，c為實數關于x的方程2x²+2（a-c）x+（a-b）²+（b-c）²=0有實數根，求證：a+c=2b．

Answer 1

考點：根的判別式

專題：證明題

分析：由關于x的方程2x²+2（a-c）x+（a-b）²+（b-c）²=0有實數根，得到△=[2（a-c）]²-4×2×[（a-b）²+（b-c）²]≥0，然后通過添項，將式子化為完全平方式，進而得到a+c=2b．

解答：證明∵關于x的方程2x²+2（a-c）x+（a-b）²+（b-c）²=0有實數根，
∴△=[2（a-c）]²-4×2×[（a-b）²+（b-c）²]≥0，
4（a-c）²-8[（a-b）²+（b-c）²]≥0，
（a-c）²-2[（a-b）²+（b-c）²]≥0，
[（a-b）+（b-c）]²-2（a-b）²-2（b-c）²≥0，
（a-b）²+2（a-b）（b-c）+（b-c）²-2（a-b）²-2（b-c）²≥0，
-（a-b）²+2（a-b）（b-c）-（b-c）²≥0，
-[（a-b）-（b-c）]²≥0，
∴（a-b）-（b-c）=0，
a-b-b+c=0，
∴a+c=2b．

點評：本題考查了根的判別式，解題關鍵是添項，將式子化為完全平方式．