Question

9．觀察下列等式：
第1個等式：${a_1}=\frac{1}{1×3}=\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{3}）$；    第2個等式：${a_2}=\frac{1}{3×5}=\frac{1}{2}×（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$；
第3個等式：${a_3}=\frac{1}{5×7}=\frac{1}{2}×（\frac{1}{5}-\frac{1}{7}）$；   第4個等式：${a_4}=\frac{1}{7×9}=\frac{1}{2}×（\frac{1}{7}-\frac{1}{9}）$；…
請解答下列問題：
（1）按以上規(guī)律列出第5個等式：a₅=$\frac{1}{9×11}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{11}$）；
（2）用含有n的代數(shù)式表示第n個等式：a_n=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）（n為正整數(shù)）；
（3）求a₁+a₂+a₃+a₄+…+a₁₀₀的值．
（4）探究計算：$\frac{1}{2×4}+\frac{1}{4×6}+\frac{1}{6×8}+…+\frac{1}{2014×2016}$．

Answer 1

分析 （1）（2）由題意可知：分子為1，分母是兩個連續(xù)奇數(shù)的乘積，可以拆成分子是1，分母是以這兩個奇數(shù)為分母差的$\frac{1}{2}$，由此得出答案即可；
（3）利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律代入計算即可；
（4）提取$\frac{1}{4}$，類比規(guī)律中拆分的方法計算得出答案即可．

解答 解：（1）第5個等式：a₅=$\frac{1}{9×11}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{11}$）；
（2）第n個等式：a_n=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）（n為正整數(shù)）；
（3）a₁+a₂+a₃+a₄+…+a₁₀₀
=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{3}$）+$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$）+…+$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{199}$-$\frac{1}{201}$）
=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{199}$-$\frac{1}{201}$）
=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{201}$）
=$\frac{1}{2}$×$\frac{200}{201}$
=$\frac{100}{201}$；
（4）$\frac{1}{2×4}+\frac{1}{4×6}+\frac{1}{6×8}+…+\frac{1}{2014×2016}$
=$\frac{1}{4}$×（1-$\frac{1}{2}$）+$\frac{1}{4}$×（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+$\frac{1}{4}$×（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+$\frac{1}{4}$×（$\frac{1}{1007}$-$\frac{1}{1008}$）
=$\frac{1}{4}$×（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{1007}$-$\frac{1}{1008}$）
=$\frac{1}{4}$×（1-$\frac{1}{1008}$）
=$\frac{1}{4}$×$\frac{1007}{1008}$
=$\frac{1007}{4032}$．

點評 此題考查數(shù)字的變化規(guī)律，找出數(shù)字之間的運算規(guī)律，利用運算規(guī)律解決問題．