Question

如圖，平面直角坐標(biāo)系中，正△OAB的頂點A的坐標(biāo)為（2

3

，0），點B落在第一象限內(nèi)，其外接⊙M與y軸交于點C，點P為弧CAO上一動點．
（1）求點C的坐標(biāo)和圓M的直徑；
（2）連結(jié)AP，CP，求四邊形OAPC的最大面積；
（3）連結(jié)OP，若△COP為等腰三角形，求點P坐標(biāo)．

Answer 1

考點：圓的綜合題,等腰三角形的性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),勾股定理,菱形的判定與性質(zhì),垂徑定理,圓周角定理,特殊角的三角函數(shù)值

專題：壓軸題,分類討論

分析：（1）連接AC，如圖1，在Rt△AOC中運(yùn)用勾股定理就可求出OC、AC的長，從而解決問題．
（2）連接AC，PM，如圖2．顯然，當(dāng)PM⊥AC時，四邊形OAPC的面積最大，只需求出此時△AOC及△APC的面積，就可解決問題．
（3）當(dāng)△COP為等腰三角形時，由于腰不確定，因此可三種情況（①CP=CO，②OP=OC，③PO=PC）討論．①若CO=CP，過點M作MH⊥OC于H，連接MO、MP，如圖3①，可求出點M的坐標(biāo)，并可證到四邊形OCPM是菱形，從而有MP∥OC，就可求出點P的坐標(biāo)；②若OP=OC，連接MC、MP，如圖3②，同理可求出對應(yīng)點P的坐標(biāo)；③若PO=PC，過點P作PH⊥OC于H，連接OM，如圖3③，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得OH=CH=1，由線段垂直平分線的判定可得點M必在PH上，只需求出PH的長，就可得到點P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）連接AC，如圖1，

∵△OAB是等邊三角形，A的坐標(biāo)為（2

3

，0），
∴AB=OB=OA=2

3

，∠AOB=∠OBA=∠BAO=60°．
在Rt△AOC中，
∵∠OCA=∠OBA=60°，OA=2

3

，
∴tan∠OCA=

OA

OC

=

2 3

OC

=

3

．
∴OC=2．
∴AC=

OC2+OA2

=4．
∵∠AOC=90°，
∴AC是⊙M的直徑．
∴點C的坐標(biāo)為（0，2），圓M的直徑為4．

（2）連接AC，PM，如圖2．

當(dāng)PM⊥AC時，△PAC的面積最大，此時四邊形OAPC的面積也最大．
∴四邊形OAPC的最大面積為

1

2

×2

3

×2+

1

2

×4×2=2

3

+4．

（3）①若CO=CP，
過點M作MH⊥OC于H，連接MO、MP，如圖3①．

則有OH=CH=

1

2

OC=1．
在Rt△OHM中，
HM=

OM2-OH2

=

3

．
∴點M的坐標(biāo)為（

3

，1）．
∵M(jìn)P=MO=OC=CP=2，
∴四邊形OCPM是菱形．
∴MP∥OC．
∴點P的坐標(biāo)為（

3

，3）．
②若OP=OC，
連接MC、MP，如圖3②．

同理可得：點P的坐標(biāo)為（

3

，-1）．
③若PO=PC，
過點P作PH⊥OC于H，連接OM，如圖3③．

∵PO=PC，PH⊥OC，
∴OH=CH=1．
∴PH垂直平分OC．
∴圓心M必在PH上．
∴PH=PM+MH=2+

3

．
∴點P的坐標(biāo)為（2+

3

，1）．
綜上所述：當(dāng)△COP為等腰三角形時，點P坐標(biāo)為（

3

，3）、（

3

，-1）、（2+

3

，1）．

點評：本題考查了圓周角定理、垂徑定理、等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值、勾股定理等知識，還考查了分類討論的思想，有一定的綜合性．