如圖,拋物線交x軸于點A、B,交y軸于點C,連接AC,BC,D是線段OB上一動點,以CD為一邊向右側作正方形CDEF,連接BF,交DE于點P.
(1)試判斷△ABC的形狀,并說明理由;
(2)求證:BF⊥AB;
(3)連接CP,記△CPF的面積為S1,△CPB的面積為S2,若S=S1-S2,試探究S的最小值.

【答案】分析:(1)由拋物線交x軸于點A、B,當x=0,求出圖象與y軸的交點坐標,以及y=0,求出圖象與x軸的交點坐標,即可得出三角形的形狀;
(2)首先證明△ACD≌△BCF,利用三角形的全等,得出∠ABF=∠ABC+∠CBF=90°,即可得出答案;
(3)首先根據(jù)∠DCO=∠PDB,證明△DCO∽△PDB,再利用相似三角形的性質得出二次函數(shù),再求出最值.
解答:(1)解:令x=0,得y=4,
∴C(0,4),
令y=0,得x1=4,x2=-4,
∴A(-4,0),B(4,0),
∴OA=OB=OC,
∴△ABC是等腰直角三角形;

(2)證明:如圖,∵△ABC是等腰直角三角形,CDEF是正方形,
∴AC=BC,CD=CF,∠ACD=∠BCF,
在△ACD和△BCF中
,
∴△ACD≌△BCF(SAS),
∴∠CBF=∠CAD=45°,
∴∠ABF=∠ABC+∠CBF=90°,
∴BF⊥AB.

(3)解:連接CP,
∵∠CDE=90°,
∴∠CDO+∠PDB=90°,
∵∠CDO+∠DCO=90°,
∴∠DCO=∠PDB,
∴△DCO∽△PDB,
,
設OD=x,BP=y,則,

∵BF=AD=4+x,
,
=x2-2x+8=(x-1)2+7,
∴當OD=x=1時,S有最小值7.
點評:此題主要考查了二次函數(shù)的最值問題和等腰直角三角形的性質,以及相似三角形的性質與判定等知識,知識考查比較全面,考查知識點是中考中的一個熱點問題,也是初中階段的重點題型.
練習冊系列答案
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精英家教網(wǎng)如圖,拋物線交x軸于點A(-2,0),點B(4,0),交y軸于點C(0,4).
(1)求拋物線的解析式,并寫出頂點D的坐標;
(2)若直線y=x交拋物線于M,N兩點,交拋物線的對稱軸于點E,連接BC,EB,EC.試判斷△EBC的形狀,并加以證明;
(3)設P為直線MN上的動點,過P作PF∥ED交直線MN上方的拋物線于點F.問:在直線MN上是否存在點P,使得以P,E,D,F(xiàn)為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,請求出點P及相應的點F的坐標;若不存在,請說明理由.

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(2)若直線y=-x交拋物線于M,N兩點,交拋物線的對稱軸于點E,連接BC,EB,EC.試判斷△EBC的形狀,并加以證明;
(3)設P為直線MN上的動點,過P作PF∥ED交直線MN下方的拋物線于點F.問:在直線MN上是否存在點P,使得以P、E、D、F為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,請求出點P及相應的點F的坐標;若不存在,請說明理由.

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(2)若直線y=x交拋物線于M,N兩點,交拋物線的對稱軸于點E,連接BC,EB,EC.試判斷△EBC的形狀,并加以證明;
(3)設P為直線MN上的動點,過P作PF∥ED交直線MN上方的拋物線于點F.問:在直線MN上是否存在點P,使得以P,E,D,F(xiàn)為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,請求出點P及相應的點F的坐標;若不存在,請說明理由.

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(1)求拋物線的解析式,并寫出頂點D的坐標;
(2)若直線y=-x交拋物線于M,N兩點,交拋物線的對稱軸于點E,連接BC,EB,EC.試判斷△EBC的形狀,并加以證明;
(3)設P為直線MN上的動點,過P作PF∥ED交直線MN下方的拋物線于點F.問:在直線MN上是否存在點P,使得以P、E、D、F為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,請求出點P及相應的點F的坐標;若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學 來源:北京期末題 題型:解答題

如圖,拋物線交x軸于A、B兩點,交y軸于點C,點P是它的頂點,點A的橫坐標是-3,點B的橫坐標是1。
(1) 求m、n的值;
(2)求直線PC的解析式;
(3)請?zhí)骄恳渣cA為圓心、直徑為5的圓與直線 PC的位置關系,并說明理由。
        (參考數(shù):,)

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