Question

（2012•湖州）如圖1，已知菱形ABCD的邊長為2

3

，點A在x軸負(fù)半軸上，點B在坐標(biāo)原點．點D的坐標(biāo)為（-

3

，3），拋物線y=ax²+b（a≠0）經(jīng)過AB、CD兩邊的中點．
（1）求這條拋物線的函數(shù)解析式；
（2）將菱形ABCD以每秒1個單位長度的速度沿x軸正方向勻速平移（如圖2），過點B作BE⊥CD于點E，交拋物線于點F，連接DF、AF．設(shè)菱形ABCD平移的時間為t秒（0＜t＜

3

）
①是否存在這樣的t，使△ADF與△DEF相似？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；
②連接FC，以點F為旋轉(zhuǎn)中心，將△FEC按順時針方向旋轉(zhuǎn)180°，得△FE′C′，當(dāng)△FE′C′落在x軸與拋物線在x軸上方的部分圍成的圖形中（包括邊界）時，求t的取值范圍．（寫出答案即可）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知條件求出AB和CD的中點坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求該二次函數(shù)的解析式；
（2）本問是難點所在，需要認(rèn)真全面地分析解答：
①如圖2所示，△ADF與△DEF相似，包括三種情況，需要分類討論：
（I）若∠ADF=90°時，△ADF∽△DEF，求此時t的值；
（II）若∠DFA=90°時，△DEF∽△FBA，利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例可以求得相應(yīng)的t的值；
（III）∠DAF≠90°，此時t不存在；
②如圖3所示，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形，認(rèn)真分析滿足題意要求時，需要具備什么樣的限制條件，然后根據(jù)限制條件列出不等式，求出t的取值范圍．確定限制條件是解題的關(guān)鍵．

解答：解：（1）由題意得AB的中點坐標(biāo)為（-

3

，0），CD的中點坐標(biāo)為（0，3），
分別代入y=ax²+b得

(- 3 )2a+b=0 b=3

，
解得，

a=-1 b=3

，
∴y=-x²+3．                                      

（2）①如圖2所示，在Rt△BCE中，∠BEC=90°，BE=3，BC=2

3

∴sinC=

BE

BC

=

3

2 3

=

3

2

，∴∠C=60°，∠CBE=30°
∴EC=

1

2

BC=

3

，DE=

3

                                
又∵AD∥BC，∴∠ADC+∠C=180°
∴∠ADC=180°-60°=120°
要使△ADF與△DEF相似，則△ADF中必有一個角為直角．
（I）若∠ADF=90°
∠EDF=120°-90°=30°
在Rt△DEF中，DE=

3

，求得EF=1，DF=2．
又∵E（t，3），F(xiàn)（t，-t²+3），∴EF=3-（-t²+3）=t²
∴t²=1，∵t＞0，∴t=1                                    
此時

AD

DE

=

2 3

3

=2，

DF

EF

=

2

1

=2，
∴

AD

DE

=

DF

EF

，
又∵∠ADF=∠DEF
∴△ADF∽△DEF                                  
（II）若∠DFA=90°，
可證得△DEF∽△FBA，則

DE

FB

= 

EF

BA

設(shè)EF=m，則FB=3-m
∴

3

3-m

= 

m

2 3

，即m²-3m+6=0，此方程無實數(shù)根．
∴此時t不存在；                                        
（III）由題意得，∠DAF＜∠DAB=60°
∴∠DAF≠90°，此時t不存在．                              
綜上所述，存在t=1，使△ADF與△DEF相似；
②如圖3所示，依題意作出旋轉(zhuǎn)后的三角形△FE′C′，過C′作MN⊥x軸，分別交拋物線、x軸于點M、點N．
觀察圖形可知，欲使△FE′C′落在指定區(qū)域內(nèi)，必須滿足：EE′≤BE且MN≥C′N．
∵F（t，3-t²），∴EF=3-（3-t²）=t²，∴EE′=2EF=2t²，
由EE′≤BE，得2t²≤3，解得t≤

6

2

．
∵C′E′=CE=

3

，∴C′點的橫坐標(biāo)為t-

3

，
∴MN=3-（t-

3

）²，又C′N=BE′=BE-EE′=3-2t²，
由MN≥C′N，得3-（t-

3

）²≥3-2t²，解得t≥

6

-

3

或t≤-

6

-3（舍）．
∴t的取值范圍為：

6

-

3

≤t≤

6

2

．

點評：本題是動線型中考壓軸題，綜合考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、幾何變換（平移與旋轉(zhuǎn)）、菱形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等重要知識點，難度較大，對考生能力要求很高．本題難點在于第（2）問，（2）①中，需要結(jié)合△ADF與△DEF相似的三種情況，分別進(jìn)行討論，避免漏解；（2）②中，確定“限制條件”是解題關(guān)鍵．