Question

如圖，在△ABC中，∠BAC的角平分線AD交BC于E，交△ABC的外接圓⊙O于D．
（1）求證：△ABE∽△ADC；
（2）請連接BD，OB，OC，OD，且OD交BC于點F，若點F恰好是OD的中點．求證：四邊形OBDC是菱形．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),菱形的判定,圓周角定理

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)圓周角定理求出∠B=∠D，根據(jù)相似三角形的判定推出即可；
（2）根據(jù)垂徑定理求出OD⊥BC，根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得出OB=BD，OC=CD，根據(jù)菱形的判定推出即可．

解答：證明：（1）∵∠BAC的角平分線AD，
∴∠BAE=∠CAD，
∵∠ABC=∠ADC，
∴△ABE∽△ADC；

（2）
∵∠BAD=∠CAD，
∴

BD

=

CD

，
∵OD為半徑，
∴DO⊥BC，
∵F為OD的中點，
∴OB=BD，OC=CD，
∵OB=OC，
∴OB=BD=CD=OC，
∴四邊形OBDC是菱形．

點評：本題考查了相似三角形的判定，圓周角定理，垂徑定理，菱形的判定，線段垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力．