Question

2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)（x₁，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)（x₂，0），已知實(shí)數(shù)x₁，x₂（x₁＜x₂）分別是方程x²+2x-3=0的兩根，OA=OC，拋物線經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)，記拋物線頂點(diǎn)為點(diǎn)E．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)P為線段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A、C重合），直線PB與拋物線交于點(diǎn)D，連接DA，DC．
①計(jì)算△ACE的面積；
②是否存在點(diǎn)D，使得S_△ADC=$\frac{1}{2}$S_△ACE？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)△PBC為等腰三角形時(shí)，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）解方程x²+2x-3=0求得方程的解，可得OA、OC的長(zhǎng)度，根據(jù)線段的長(zhǎng)度，可得點(diǎn)的坐標(biāo)；根據(jù)待定系數(shù)法，可得拋物線的解析式；
（2）①根據(jù)解析式，可得頂點(diǎn)坐標(biāo)；根據(jù)角的和差，可得∠ACE的度數(shù)，根據(jù)三角形的面積公式，可得答案；
②根據(jù)等底三角形面積的關(guān)系，可得三角形高之間的關(guān)系，可得答案；
（3）根據(jù)等腰三角形的判定，分類討論：PB=PC，PB=BC，PC=BC，可得答案．

解答 解：（1）由 x²+2x-3=0，得x₁=-3，x₂=1，
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)（x₁，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)（x₂，0），
∴A（-3，0），B（1，0）
∵OA=OC，
∴C（0，-3），
設(shè)y=a（x+3）（x-1），把C（0，-3）代入y=a（x+3）（x-1），得-3=a（0+3）（0-1），解得：a=1，
∴拋物線的解析式為：y=x²+2x-3；

（2）①∵拋物線的解析式為y=x²+2x-3，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)E（-1，-4）；
由題意可知∠ACO=45°，CE與y軸的負(fù)半軸所成的角也為45°，
∴∠ACE=90°，AC=3$\sqrt{2}$，CE=$\sqrt{2}$，
∴S_△ACE=$\frac{1}{2}$AC•CE=$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=2；
②存在存在點(diǎn)D，使得S_△ADC=$\frac{1}{2}$S_△ACE，
D到AC的距離為CE的一半，
設(shè)D（x，x²+2x-3），直線AC的解析式為y=-x-3，即y+x+3=0，
D到AC的距離為$\frac{|x+{x}^{2}+2x-3+3|}{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得x₁=-1-$\sqrt{2}$，y₁=-2，
x₂=-2+$\sqrt{2}$，y₂=-1-2$\sqrt{2}$；
∴D（-1-$\sqrt{2}$，-2），D（-2+$\sqrt{2}$，-1-2$\sqrt{2}$）；

（3）設(shè)P（x，-x-3），BC=$\sqrt{O{B}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
①當(dāng)PB=PC時(shí)，$\sqrt{（x-1）^{2}+（-x-3-0）^{2}}$=$\sqrt{（x-0）^{2}+（-x-3-3）^{2}}$，
化簡(jiǎn)，得
4x=-13．
解得x=-$\frac{13}{4}$，y=-x-3=$\frac{1}{4}$，p（-$\frac{13}{4}$，$\frac{1}{4}$）；
②當(dāng)PB=BC時(shí)，$\sqrt{（x-1）^{2}+（-x-3）^{2}}$=$\sqrt{10}$，
化簡(jiǎn)，得2x²+4x=0．
解得x=-2或x=0（不符合題意的要舍去），y=-x-3=-（-2）-3=-1，P（-2，-1）；
③當(dāng)PC=BC時(shí)，$\sqrt{（x-0）^{2}+（-x-3-3）^{2}}$=$\sqrt{10}$，
化簡(jiǎn)，得x²+6x+13=0，△=b²-4ac=6²-4×1×13=-16，方程無(wú)實(shí)數(shù)根；
當(dāng)△PBC為等腰三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)（-$\frac{13}{4}$，$\frac{1}{4}$），（-2，-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，等底三角形的面積與高的關(guān)系，等腰三角形的判定，分類討論是解題關(guān)鍵．