Question

已知正方形ABCD邊長為1，Q為BC延長線上一點(diǎn)，QA與CD、BD分別交于點(diǎn)P、E，QO與CD交于點(diǎn)F，若EF∥AC，求AP的長．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),勾股定理,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：先根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到DE與BD的關(guān)系并求出DE，然后根據(jù)EF∥AC和FC∥OH得到成比例的線段進(jìn)而得到FC與AP的長度．

解答：解：如圖所示，作OH⊥BC于點(diǎn)H，設(shè)CQ=a，
∵AD∥BC，
∴△AED～△QEB，
∴

AD

QB

=

DE

BE

，
即

1

1+a

=

DE

BE

，
∴DE=

1

1+(1+a)

BD=

1

2+a

BD=

2

2+a

，
∵EF∥AC，
∴DF=

2

DE=

2

2+a

，
∴FC=1-

2

2+a

=

a

2+a

，
∵FC∥OH，
∴

FC

OH

=

QC

QH

，
即

a 2+a

1 2

=

a

a+ 1 2

，
解得a=1，
∴AP=

12+( 1 2 )2

=

5

2

．

點(diǎn)評(píng)：該題目考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是由題意分析出輔助線的作法．