Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線y=x+1與拋物線y=ax²+bx-3（a≠0）交于A、B兩點，點A在x軸上，點B的縱坐標為5．點P是直線AB下方的拋物線上的一動點（不與點A、B重合），過點P作x軸的垂線交直線AB于點C，作PD⊥AB于點D．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)點P的橫坐標為m．
①用含m的代數(shù)式表示線段PD的長，并求出線段PD長的最大值；
②連結(jié)PB，線段PC把△PDB分成兩個三角形，是否存在適合的m的值，使這兩個三角形的面積比為1：2？若存在，直接寫出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）在y=x+1中，當(dāng)y=0時，x=-1；當(dāng)y=5時，x=4，依此可得A與B的坐標；將A與B坐標代入拋物線解析式求出a與b的值，即可確定出拋物線解析式；
（2）①設(shè)直線AB與y軸交于點E，由CP與y軸平行，得到∠ACP=∠AEO，求出AE與OA的長，得出sin∠AEO的值，即為sin∠ACP的值，由P的橫坐標為m，分別代入直線與拋物線解析式得到兩個縱坐標之差為PC的長，由PD=PCsin∠ACP表示出PD，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出PD的最大值即可；
②存在，過D作DF⊥CP，過B作BG⊥PQ，交PC延長線與點Q，表示出DF與BG，進而表示出三角形DCP面積與三角形BCP面積，根據(jù)面積之比為1：2列出關(guān)于m的方程，求出方程的解得到m的值即可．

解答：解：（1）在y=x+1中，當(dāng)y=0時，x=-1；當(dāng)y=5時，x=4．
則A（-1，0）、B（4，5），
將A（-1，0）、B（4，5）分別代入y=ax²+bx-3中，得

a-b-3=0 16a+4b-3=5.

解得a=1，b=-2．
∴所求解析式為y=x²-2x-3．

（2）①設(shè)直線AB交y軸于點E，求得E（0，1），
∴OA=OE=1，∠AEO=45°，
∴∠ACP=∠AEO=45°，
∴PD=PCsin∠ACP=

2

2

PC．
設(shè)P（m，m²-2m-3），則C（m，m+1），
∴PC=（m+1）-（m²-2m-3）=-m²+3m+4．
∴PD=

2

2

(-m 2+3m+4)=-

2

2

(m-

3

2

)2+

25 2

8

．
∴PD的最大值為

25 2

8

．
②過D作DF⊥CP，過B作BG⊥PQ，交PC延長線與點Q，
∵sin∠ACP=

2

2

，
∴cos∠ACP=

2

2

，
在Rt△PDF中，DF=DP•sin∠DPC=DP•cos∠ACP=

2

2

×

2

2

（-m²+3m+4）=-

1

2

（m²-3m-4），
又∵BG=4-m，
∴

S△DCP

S△BCP

=

1 2 DF•CP

1 2 BG•CP

=

DF

BG

=

- 1 2 (m2-3m-4)

4-m

=

m+1

2

，
當(dāng)

S△DCP

S△BCP

=

m+1

2

=

1

2

時，解得：m=0；
當(dāng)

S△DCP

S△BCP

=

m+1

2

=2時，解得：m=3．
故當(dāng)m=0或m=3時，PC把△PDB分成兩個三角形的面積比為1：2．

點評：此題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，坐標與圖形性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及三角形的面積求法，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題第一問的關(guān)鍵．