Question

5．研究下列算式，你會(huì)發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？
$\sqrt{11-2}$=3，
$\sqrt{1111-22}$=33，
$\sqrt{111111-222}$=333，
…
（1）請(qǐng)將你找出的規(guī)律用式子表示出來(lái)；
（2）你會(huì)證明你得到的結(jié)論嗎？試試看．

Answer 1

分析 （1）觀察上述算式可發(fā)現(xiàn)：根號(hào)內(nèi)被開方數(shù)是2n個(gè)數(shù)字1和n個(gè)數(shù)字2的差，結(jié)果為n個(gè)數(shù)字3；
（2）從已知三個(gè)等式中找出計(jì)算規(guī)律，然后應(yīng)用到一般式中．

解答 解：（1）∵$\sqrt{11-2}$=3，$\sqrt{1111-22}$=33，$\sqrt{111111-222}$=333
∴可發(fā)現(xiàn)：根號(hào)內(nèi)被開方數(shù)是2n個(gè)數(shù)字1和n個(gè)數(shù)字2的差，結(jié)果為n個(gè)數(shù)字3，
則第n個(gè)算式可表示為：$\sqrt{\underset{\underbrace{11…11}}{2n個(gè)}-\underset{\underbrace{22…2}}{n個(gè)}}=\underset{\underbrace{33…3}}{n個(gè)}$．
（2）∵$\sqrt{11-2}=\sqrt{9}=3$；
$\sqrt{1111-22}$=$\sqrt{11×（101-2）}$=$\sqrt{11×99}$=$\sqrt{11×11×9}$=11×3=33；
$\sqrt{111111-222}$=$\sqrt{111×（1001-2）}$=$\sqrt{111×999}$=$\sqrt{111×111×9}$=111×3=333；
∴$\sqrt{\underset{\underbrace{11…1}}{2n個(gè)}-\underset{\underbrace{22…2}}{n個(gè)}}$=$\sqrt{\underset{\underbrace{11…1}}{n個(gè)}×（100…1-2）}$
=$\sqrt{\underset{\underbrace{11…1}}{n個(gè)}×\underset{\underbrace{99…9}}{n個(gè)}}$
=$\sqrt{\underset{\underbrace{11…1}}{n個(gè)}×\underset{\underbrace{11…1}}{n個(gè)}×9}$
=$\underset{\underbrace{11…1}}{n個(gè)}×3$
=$\underset{\underbrace{33…3}}{n個(gè)}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，從已知三個(gè)等式中提取公因數(shù)再開方是證明關(guān)鍵．