Question

已知拋物線y=a（x-2）²+k（a＜0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)），交y軸正半軸交于C點(diǎn)．記拋物線的頂點(diǎn)為E，將E繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，對(duì)應(yīng)點(diǎn)F落在x軸上，若△BEF為等腰三角形，求tan²E的值．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn)

專題：

分析：根據(jù)題意畫出圖形，過點(diǎn)E作EM⊥x軸于點(diǎn)M，先得出拋物線的對(duì)稱軸，故可得出E（2，k），將E繞C旋轉(zhuǎn)180°，對(duì)應(yīng)點(diǎn)F落在x軸，E的縱坐標(biāo)是C的縱坐標(biāo)的2倍，F(xiàn)的橫坐標(biāo)與E的橫坐標(biāo)關(guān)于y軸對(duì)稱，由此得出F，C點(diǎn)的坐標(biāo)，故可得出k=-8a，再將原方程化為y=ax²-4ax-4a，求出x的值，根據(jù)點(diǎn)A在B左邊可得出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式表示出EF，EB及BF的長，根據(jù)EF≠EB可知當(dāng)△BEF是等腰三角形時(shí)有：EF=BF或EB=BF，由此可得出a的值，進(jìn)而得出結(jié)論．

解答：解：過點(diǎn)E作EM⊥x軸于點(diǎn)M，
∵拋物線y=a（x-2）²+k（a＜0）的對(duì)稱軸為x=2，
∴當(dāng)x=2時(shí)，y=k，
∴E（2，k），
∵將E繞C旋轉(zhuǎn)180，對(duì)應(yīng)點(diǎn)F落在x軸，
∴E的縱坐標(biāo)是C的縱坐標(biāo)的2倍，
∴F的橫坐標(biāo)與E的橫坐標(biāo)關(guān)于y軸對(duì)稱，
∴F（-2，0），
∵當(dāng)x=0時(shí)y=4a+k，
∴C（0，4a+k），
∴k=2（4a+k），
∴k=-8a，
∴E（2，-8a），
∴原方程化為y=ax²-4ax-4a．
∵a＜0，
∴當(dāng)y=0時(shí)，x²-4x-4=0，
解得：x₁=2+2

2

，x₂=2-2

2

，
∵A在B左邊，
∴A（2-2

2

，0），B（2+2

2

，0），
∵EF=

(2+2)2+(-8a)2

=4

1+4a2

，
EB=

(2-2-2 2 )2+(-8a)2

=2

2+16a2

，
BF=2+2

2

-（-2）=4+2

2

，
∴EF≠EB
∴△BEF是等腰三角形時(shí)有：EF=BF或EB=BF，
①當(dāng)EF=BF時(shí)：4

1+4a2

=4+2

2

，
解得：a₁=-

2+4 2

4

，a₂=

2+4 2

4

（舍去），
∴E（2，2

2+4 2

），
∴tan²E=（

EM

MF

）²=（

2 2+4 2

4

）²=

3+2 2

4

；
②當(dāng)EB=BF時(shí)：2

2+16a2

=4+2

2

，
解得：a₁=-

1+ 2

2

，a₂=

1+ 2

2

（舍去），
∴E（2，4

1+ 2

），
∴tan²E=（

EM

MF

）²=[4

1+ 2

÷4]²=3+2

2

．
綜上所述，tan²E=

3+2 2

4

或3+2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是拋物線與x軸的交點(diǎn)問題，根據(jù)題意畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵．