Question

（2010•蕭山區(qū)模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABOC的邊BO在x軸正半軸上，邊CO在y軸的正半軸上，且AB=2，OB=2，矩形ABOC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到矩形EFOD，且點(diǎn)A落在Y軸上的E點(diǎn)，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D．
（1）求F，E，D三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)F，E，D，求此拋物線的解析式；
（3）在X軸上方的拋物線上求點(diǎn)Q的坐標(biāo)，使得△QOB的面積等于矩形ABOC的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AO，過D點(diǎn)作DH⊥x軸于H，過F作FG⊥x軸于G，由AB=2，OB=2，利用勾股定理可求出OA的長(zhǎng)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可求出E點(diǎn)的坐標(biāo)；由銳角三角函數(shù)的定義可知∠AOB=30°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可判斷出△AOB≌△EOF，進(jìn)而求出F的坐標(biāo)，同理可求出D點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）根據(jù)拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)F，E，D，用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式．
（3）根據(jù)點(diǎn)Q在x軸的上方，可設(shè)三角形QOB的OB邊上的高為h，根據(jù)三角形及矩形的面積公式可求出h的值，代入拋物線的解析式即可求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)．
解答：解：（1）連接AO
∵矩形ABOC，AB=2，OB=2，
∴AO=4，
∵矩形ABOC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到矩形EFOD，
A落在y軸上的點(diǎn)E，
∴AO=EO=4∴E（0，4），
過D點(diǎn)作DH⊥x軸于H，
∵∠DHO=∠ABO=90°，
∵∠AOB=∠EOF，∠EOF+∠DOE=90°，
∴∠AOB+∠DOE=90°，
∵∠DOH+∠DOE=90°，
∴∠DOH=∠AOB，
∴△DHO∽△ABO，
∴==
∵AB=2，OB=2，DO=2，AO=4，
∴DH=1，OH=
∴D（-，1），
同理得∴F（，3）．

（2）∵拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)F，E，D，
∴C=4，
∴，
求得：a=-，b=，c=4，
所求拋物線為：y=-x²+x+4．

（3）因?yàn)樵趚軸上方的拋物線上有點(diǎn)Q，使得三角形QOB的面積等于矩形BAOC的面積，
設(shè)三角形QOB的OB邊上的高為h，則×2×h=2×2，
所以h=4，
因?yàn)辄c(diǎn)Q在x軸上方的拋物線上，
所以Q（x，4），
∴4=-x²+x+4，x₁=0，x₂=，
所以Q的坐標(biāo)是（0，4）或（，4）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，有一定的綜合性，但難度適中．