Question

如圖，二次函數(shù)y=-x²+2x+m的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為B（-1，0），另一個(gè)交點(diǎn)為A，且與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求m的值；
（2）求直線AC的函數(shù)解析式；
（3）該二次函數(shù)圖象上有點(diǎn)D（x，y），使S_△ABD=S_△ABC，求點(diǎn)D坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）將B點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求出m的值．
（2）首先由（1）的函數(shù)解析式，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)．在已知點(diǎn)A、C坐標(biāo)的情況下，利用待定系數(shù)法確定直線AC的解析式．
（3）△ABD、△ABC中，若以AB為底進(jìn)行討論，當(dāng)它們的面積相等時(shí)，點(diǎn)C、D到線段AB的距離必然相等，根據(jù)這個(gè)特點(diǎn)先確定D點(diǎn)的縱坐標(biāo)，再代入拋物線的解析式中進(jìn)行求解即可．
解答：解：（1）將點(diǎn)B（-1，0）代入y=-x²+2x+m中，得：
-1-2+m=0，m=3
即m的值為3．

（2）由（1）知：拋物線的解析式 y=-x²+2x+3，當(dāng)y=0時(shí)，
-x²+2x+3=0，解得：x₁=-1，x₂=3
∴A（3，0）、B（-1，0）．
設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+b，有：
，
解得
故直線AC：y=-x+3．

（3）以AB為底，若S_△ABD=S_△ABC，則點(diǎn)C、D到直線AB的距離相等；
若設(shè)D（x，y），則y=±3，代入拋物線的解析式中，有：
y=3時(shí)，-x²+2x+3=3，解得：x₁=0、x₂=2，
∴D₁（2，3）；
y=-3時(shí)，-x²+2x+3=-3，解得：x₃=1+、x₄=1-
∴D₂（1+，-3）、D₃（1-，-3）．
綜上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（2，3），（+1，-3），（-+1，-3）．
點(diǎn)評：該題考查的內(nèi)容較為簡單，主要涉及了函數(shù)解析式的確定和圖形面積的解法．解題過程中，要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，例如：最后一題中，通過圖示發(fā)現(xiàn)C、D兩點(diǎn)縱坐標(biāo)的關(guān)系是突破題目的關(guān)鍵．