Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²+bx+c（ac≠0）與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．若線段OA、OB、OC的長滿足OC²=OA•OB，則這樣的拋物線稱為“黃金”拋物線．
（1）試判斷拋物線y=2x2+

5

2

x+

1

2

是否是“黃金”拋物線，并說明理由；
（2）若拋物線y=3x²+5x+c（其中c≠0）是“黃金”拋物線，請求出c的值；
（3）將（2）中條件下的拋物線進(jìn)行一定的平移后所得的拋物線仍為“黃金”拋物線，請直接寫出平移后的拋物線解析式，及拋物線y=ax²+bx+c（ac≠0）是“黃金”拋物線應(yīng)滿足的條件．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）首先求出y=0時(shí)x的值，進(jìn)而得出A，B點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出OC²=OA•OB，進(jìn)而得出答案；
（2）根據(jù)“黃金”拋物線，求出|c|2=|

c

3

|，解出即可；
（3）利用“黃金”拋物線的定義即可得出是“黃金”拋物線應(yīng)滿足的條件Ⅰ．當(dāng)ac＞0時(shí)，ac=1，且b²＞4；Ⅱ．當(dāng)ac＜0時(shí)，ac=-1，b可為任意實(shí)數(shù)．

解答：解：（1）該拋物線是“黃金”拋物線．
理由如下：
對于y=2x2+

5

2

x+

1

2

，當(dāng)y=0時(shí)，即2x2+

5

2

x+

1

2

=0，
解得：x₁=-1，x₂=-

1

4

，
即A點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為(-

1

4

，0)，
∴OA=1，OB=

1

4

．
又當(dāng)x=0時(shí)，y=

1

2

，
故C點(diǎn)坐標(biāo)為(0，

1

2

)，
即OC=

1

2

．
因而OC²=（

1

2

）²=

1

4

=1×

1

4

=OA•OB，
故拋物線y=2x²+

5

2

x+

1

2

是“黃金”拋物線．

（2）設(shè)拋物線y=3x²+5x+c與x軸的兩個交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（x_A，0）、（x_B，0），
則有OA=|x_A|，OB=|x_B|；
且x_A、x_B為方程3x²+5x+c=0的兩根，
則xA•xB=

c

3

．
即OA•OB=|x_A||x_B|=|

c

3

|．
在y=3x²+5x+c中，當(dāng)x=0 時(shí)，y=c，
故C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，c），
則OC=|c|．
據(jù)題意可知，OC²=OA•OB，
故|c|2=|

c

3

|，
解得：c=±

1

3

．

（3）將拋物線y=3x²+5x+

1

3

及y=3x²+5x-

1

3

平移后可得到如下“黃金”拋物線：
①y=3x²-5x+

1

3

；②y=3x²-5x-

1

3

．
拋物線y=ax²+bx+c（ac≠0）是“黃金”拋物線應(yīng)滿足的條件為：
Ⅰ．當(dāng)ac＞0時(shí)，ac=1，且b²＞4；
Ⅱ．當(dāng)ac＜0時(shí)，ac=-1，b可為任意實(shí)數(shù)．

點(diǎn)評：此題主要考查了新定義以及一元二次方程的解法等知識，利用已知式子得出變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．