Question

如圖，△ABC中，AH是高，已知△ABC的面積為6，且BC²=2AH²+BH²+HC²，
（1）試判斷△ABC形狀，說明理由
（2）若HC²-BH²=7，求△ABC各邊長．

Answer 1

考點：勾股定理的逆定理,勾股定理

專題：

分析：（1）先由三角形的高的定義得出∠AHB=∠AHC=90°，根據勾股定理得到AB²=AH²+BH²，AC²=AH²+HC²，那么AB²+AC²=2AH²+BH²+HC²，而BC²=2AH²+BH²+HC²，于是AB²+AC²=BC²，根據勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形；
（2）由AC²=AH²+HC²，AB²=AH²+BH²，得出AC²-AB²=HC²-BH²=7，設AC=x，AB=y，則x²-y²=7 ①，由△ABC的面積為6，得出

1

2

xy=6，即xy=12 ②，①與②聯(lián)立，解方程組求出AC=4，AB=3，利用勾股定理得到BC=

AC2+AB2

=5．

解答：解：（1）∵△ABC中，AH是高，
∴∠AHB=∠AHC=90°，
∴AB²=AH²+BH²，AC²=AH²+HC²，
∴AB²+AC²=AH²+BH²+AH²+HC²=2AH²+BH²+HC²，
∵BC²=2AH²+BH²+HC²，
∴AB²+AC²=BC²，
∴△ABC是直角三角形；

（2）∵AC²=AH²+HC²，AB²=AH²+BH²，
∴AC²-AB²=AH²+HC²-AH²-BH²=HC²-BH²=7，
設AC=x，AB=y，則x²-y²=7 ①，
∵△ABC的面積為6，
∴

1

2

xy=6，即xy=12 ②，
①與②聯(lián)立，解得

x=4 y=3

，或

x=-4 y=-3

（不合題意舍去），
∴AC=4，AB=3，
∴BC=

AC2+AB2

=5．

點評：本題考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面積，二元二次方程組的解法，三角形的高的定義，等式的性質，難度適中．正確求解二元二次方程組是解決第（2）題的關鍵．