Question

如圖1，拋物線y=ax²＋bx＋c(a≠0)的頂點(diǎn)為（1,4），交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)D，其中B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3,0）.

（1）求拋物線的解析式.

（2）如圖2，過點(diǎn)A的直線與拋物線交于點(diǎn)E，交y軸于點(diǎn)F，其中E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，直線PQ為拋物線的對(duì)稱軸.①說明點(diǎn)D與點(diǎn)E關(guān)于直線PQ對(duì)稱.

②若點(diǎn)G為PQ上一動(dòng)點(diǎn)，則x軸上是否存在一點(diǎn)H，使D、G、F、H四點(diǎn)圍成的四邊形周長最�。咳舸嬖�，求出這個(gè)最小值及G、H的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

（3）如圖3，拋物線上是否存在一點(diǎn)T，過點(diǎn)T作x的垂線，垂足為M，過點(diǎn)M作直線MN∥BD，交線段AD于點(diǎn)N，連接MD，使△DNM∽△BMD，若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

 

Answer 1

解：（1）設(shè)所求拋物線的解析式為：y＝a(x－1)²＋4，

依題意，將點(diǎn)B（3，0）代入，得：

a(3－1)²＋4＝0

解得：a＝－1

∴所求拋物線的解析式為：

（2）如圖6，在y軸的負(fù)半軸上取一點(diǎn)I，使得點(diǎn)F與點(diǎn)I關(guān)于x軸對(duì)稱，

在x軸上取一點(diǎn)H，連接HF、HI、HG、GD、GE，

則HF＝HI…………①

設(shè)過A、E兩點(diǎn)的一次函數(shù)解析式為：y＝kx＋b（k≠0），

∵點(diǎn)E在拋物線上且點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為2，將x＝2代入

拋物線y＝－(x－1)²＋4，得y＝－(2－1)²＋4＝3

∴點(diǎn)E坐標(biāo)為（2，3）

又∵拋物線y＝－(x－1)²＋4圖像分別與x軸、y軸

交于點(diǎn)A、B、D

∴當(dāng)y＝0時(shí)，－(x－1)²＋4＝0，∴ x=－1或x＝3

當(dāng)x＝0時(shí)，y＝－1＋4＝3,

∴點(diǎn)A（－1，0），點(diǎn)B（3，0），點(diǎn)D（0，3）

又∵拋物線的對(duì)稱軸為：直線x＝1，

∴點(diǎn)D與點(diǎn)E關(guān)于PQ對(duì)稱，GD＝GE…………………②  

分別將點(diǎn)A（－1，0）、點(diǎn)E（2，3）代入y＝kx＋b，得：

     解得：

過A、E兩點(diǎn)的一次函數(shù)解析式為：y＝x＋1

∴當(dāng)x＝0時(shí)，y＝1

∴點(diǎn)F坐標(biāo)為（0，1）

∴………………………………………③

又∵點(diǎn)F與點(diǎn)I關(guān)于x軸對(duì)稱，

∴點(diǎn)I坐標(biāo)為（0，－1）

∴………④

又∵要使四邊形DFHG的周長最小，由于DF是一個(gè)定值，

∴只要使DG＋GH＋HI最小即可

由圖形的對(duì)稱性和①、②、③，可知，

DG＋GH＋HF＝EG＋GH＋HI

只有當(dāng)EI為一條直線時(shí)，EG＋GH＋HI最小

設(shè)過E（2，3）、I（0，－1）兩點(diǎn)的函數(shù)解析式為：y＝k₁x＋b₁（k₁≠0），

分別將點(diǎn)E（2，3）、點(diǎn)I（0，－1）代入y＝k₁x＋b₁，得：     解得：

過A、E兩點(diǎn)的一次函數(shù)解析式為：y＝2x－1

∴當(dāng)x＝1時(shí)，y＝1；當(dāng)y＝0時(shí)，x＝；

∴點(diǎn)G坐標(biāo)為（1，1），點(diǎn)H坐標(biāo)為（，0）

∴四邊形DFHG的周長最小為：DF＋DG＋GH＋HF＝DF＋EI

由③和④，可知：DF＋EI＝

∴四邊形DFHG的周長最小為。

（3）如圖7，由題意可知，∠NMD＝∠MDB，

要使，△DNM∽△BMD，只要使即可，

即：MD²＝NM×BD………………………………⑤

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（a，0），由MN∥BD，可得△AMN∽△ABD，

∴

再由（1）、（2）可知，AM＝1＋a，BD＝，AB＝4

∴

∵M(jìn)D²＝OD²＋OM²＝a²＋9，

∴⑤式可寫成： a²＋9＝×

解得：  a＝或a＝3（不合題意，舍去）

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，0）

又∵點(diǎn)T在拋物線y＝－(x－1)²＋4圖像上，

∴當(dāng)x＝時(shí)，y＝

∴點(diǎn)T的坐標(biāo)為（，）