Question

如圖，在等腰梯形ABDC中，AC=BD，AB∥CD，過點(diǎn)B作BE⊥CD，垂足為E，連接AE，且∠CAE=90°，若∠ABF=∠D，
求證：
（1）△ABF∽△ECA；
（2）若延長BF交CD與點(diǎn)G，判斷四邊形ABGC的形狀并說明理由．
（3）當(dāng)AB=4，BE=3時，求梯形ABDC的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),等腰梯形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）證明∠BAF=∠AEC；證明∠ABF=∠C，即可解決問題．
（2）證明∠BGD=∠C，進(jìn)而得到AC∥BG，即可解決問題．
（3）根據(jù)題意，求出AE、DE的長，即可解決問題．

解答：解：（1）如圖，∵AB∥CD，
∴∠BAF=∠AEC；
∵四邊形ABCD是等腰梯形，
∴∠C=∠D；而∠ABF=∠D，
∴∠ABF=∠C，
∴△ABF∽△ECA．
（2）∵AB∥CD，
∴∠ABF=∠BGD；而∠ABF=∠D，∠C=∠D，
∴∠BGD=∠C，
∴AC∥BG；而AB∥CG，
∴四邊形ABGC是平行四邊形．
（3）∵AB∥CD，BE⊥CD，
∴AB⊥BE；而AB=4，BE=3，
由勾股定理得：AE=5．
∵∠BAE=∠AEC，∠ABE=∠CAE，
∴△ABE∽△EAC，
∴AB：AE=BE：AC=AE：CE，
即4：5=3：AC=5：CE，
∴AC=

15

4

，CE=

25

4

；
∴BD=AC=

15

4

；由勾股定理得：
DE²=BD²-BE²，
∴DE=

9

4

，CD=

25

4

+

9

4

=

17

2

，
∴梯形ABDC的面積=

1

2

（4+

17

2

）×3
=

75

4

．

點(diǎn)評：該題主要考查了梯形的性質(zhì)、相似三角形的判定及其性質(zhì)等幾何知識點(diǎn)的應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，準(zhǔn)確找出命題圖形中隱含的等量關(guān)系；靈活解題．