Question

已知：△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，點(diǎn)M是CE的中點(diǎn)，連接BM．
（1）如圖①，點(diǎn)D在AB上，連接DM，并延長(zhǎng)DM交BC于點(diǎn)N，可探究得出BD與BM的數(shù)量關(guān)系為

 

；
（2）如圖②，點(diǎn)D不在AB上，（1）中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請(qǐng)證明；如果不成立，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”可知BD=

2

BM，
（2）先證明△MDE≌△MFC，得出AD=ED=FC，再作AN⊥EC于點(diǎn)N，證出△DBF是等腰直角三角形，根據(jù)點(diǎn)M是DF的中點(diǎn)，得出△BMD是等腰直角三角形，即可得出BD=

2

BM．

解答：解：（1）BD=

2

BM，

（2）結(jié)論成立．
證明：過(guò)點(diǎn)C作CF∥ED，與DM的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，連接BF，
可證得△MDE≌△MFC，
∴DM=FM，DE=FC，
∴AD=ED=FC，
作AN⊥EC于點(diǎn)N，
由已知∠ADE=90°，∠ABC=90°，
可證得∠DEN=∠DAN，∠NAB=∠BCM，
∵CF∥ED，
∴∠DEN=∠FCM，
∴∠BCF=∠BCM+∠FCM=∠NAB+∠DEN=∠NAB+∠DAN=∠BAD，
∴△BCF≌△BAD，
∴BF=BD，∠DBA=∠CBF，
∴∠DBF=∠DBA+∠ABF=∠CBF+∠ABF=∠ABC=90°，
∴△DBF是等腰直角三角形，
∵點(diǎn)M是DF的中點(diǎn)，
則△BMD是等腰直角三角形，
∴BD=

2

BM．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，在本題中需要作輔助線來(lái)證明，難度較大．