Question

12．如圖①，已知直線y=3x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)D，與直線y=$\frac{3}{4}$x交于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DC∥x軸，交直線y=$\frac{3}{4}$x于點(diǎn)C．過點(diǎn)C作CB∥AD交x軸于點(diǎn)B．（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)是（4，3）；
（2）以線段AD的中點(diǎn)M為圓心作⊙M，當(dāng)⊙M與直線CE相切時(shí)，求⊙M的半徑；
（3）如圖②，點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿線段OC向終點(diǎn)C運(yùn)動，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CD向終點(diǎn)D運(yùn)動．若P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，速度均為1單位長度/s，時(shí)間為ts，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，P、Q兩點(diǎn)均停止運(yùn)動．在點(diǎn)P、Q的運(yùn)動過程中，將線段PQ繞點(diǎn)P沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后，設(shè)點(diǎn)Q的對應(yīng)點(diǎn)為R．當(dāng)點(diǎn)R落在四邊形ABCD一邊所在的直線上時(shí)，直接寫出t的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)DC∥x軸可得到點(diǎn)C的縱坐標(biāo)等于點(diǎn)D的縱坐標(biāo)，只需求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，就可得到點(diǎn)C的縱坐標(biāo)，然后把點(diǎn)C的縱坐標(biāo)代入直線CE的表達(dá)式，就可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）設(shè)⊙M與直線CE的切點(diǎn)為H，連接MH，M0，根據(jù)圓的切線的性質(zhì)可得MH⊥CE．過點(diǎn)M作x軸的垂線交x軸于N，交直線DC于G，如圖1，只需運(yùn)用面積法就可解決問題；
（3）過點(diǎn)P作x軸的垂線，交DC于S，交過點(diǎn)R垂直于y軸的直線于T，如圖2．設(shè)R點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），由題意可得到點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)（用t的代數(shù)式表示），易證△QSP≌△PTR，則有SQ=PT，PS=RT，由此可得到點(diǎn)R的坐標(biāo)（用t的代數(shù)式表示），然后只需對點(diǎn)R分別在四邊形ABCD四邊所在的直線上進(jìn)行討論，就可解決問題．

解答 解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=3x+3=3，故D（0，3）．
∵DC∥x軸，∴y_C=y_D=3．
∵點(diǎn)C在直線y=$\frac{3}{4}$x上，
∴3=$\frac{3}{4}$x_C，
∴x_C=4，
∴C（4，3）．
故答案為（4，3）；

（2）設(shè)⊙M與直線CE的切點(diǎn)為H，連接MH，M0，則有MH⊥CE．
過點(diǎn)M作x軸的垂線交x軸于N，交直線DC于G，如圖1，

由直線y=3x+3可得點(diǎn)A（-1，0），OA=1，
∴AD的中點(diǎn)M坐標(biāo)為（$\frac{-1+0}{2}$，$\frac{0+3}{2}$）即（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$），
∴MN=$\frac{3}{2}$，MG=3-$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{2}$．
∵S_△OMC=S_梯形OADC-S_△OAM-S_△MDC，
∴$\frac{1}{2}$OC•MH=$\frac{1}{2}$（DC+OA）•OD-$\frac{1}{2}$OA•MN-$\frac{1}{2}$DC•MG，
∴$\frac{1}{2}$×$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$•MH=$\frac{1}{2}$（4+1）×3-$\frac{1}{2}$×1×$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$×4×$\frac{3}{2}$，
∴MH=$\frac{3}{2}$，
∴⊙M的半徑為$\frac{3}{2}$；

（3）t=$\frac{5}{3}$或t=$\frac{20}{9}$或t=$\frac{35}{12}$．
提示：過點(diǎn)P作x軸的垂線，交DC于S，交過點(diǎn)R垂直于y軸的直線于T，如圖2．

設(shè)R點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），
由題可得CQ=OP=t，則有P（$\frac{4t}{5}$，$\frac{3t}{5}$），Q（4-t，3），
易證△QSP≌△PTR，則有SQ=PT，PS=RT，
∴4-t-$\frac{4t}{5}$=$\frac{3t}{5}$-y，3-$\frac{3t}{5}$=x-$\frac{4t}{5}$，
∴y=$\frac{12t}{5}$-4，x=$\frac{t}{5}$+3，
∴R點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{t}{5}$+3，$\frac{12t}{5}$-4）．
①當(dāng)點(diǎn)R在直線AB上時(shí)，$\frac{12t}{5}$-4=0，解得t=$\frac{5}{3}$；
②當(dāng)點(diǎn)R在直線BC上時(shí)，
由BC∥AD可設(shè)y=3x+b，把點(diǎn)C（4，3）代入可得b=-9，
∴直線BC的表達(dá)式為y=3x-9，
∴$\frac{12t}{5}$-4=3（$\frac{t}{5}$+3）-9，
解得t=$\frac{20}{9}$；
③當(dāng)點(diǎn)R在直線DC上時(shí)，$\frac{12t}{5}$-4=3，解得t=$\frac{35}{12}$；
④當(dāng)點(diǎn)R在直線AD上時(shí)，
可得$\frac{12t}{5}$-4=3（$\frac{t}{5}$+3）+3，
解得t=$\frac{80}{9}$．
由題可得0≤t≤4，
∵$\frac{80}{9}$＞4，∴舍去．
綜上所述：t=$\frac{5}{3}$或t=$\frac{20}{9}$或t=$\frac{35}{12}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了圓的切線的性質(zhì)、用待定系數(shù)法求直線的解析式、直線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、三角形全等的判定與性質(zhì)等知識，在解決問題的過程中用到了分類討論、面積法、待定系數(shù)法等重要的數(shù)學(xué)思想方法，應(yīng)熟練掌握，當(dāng)然第（2）小題也可通過三角形相似來求圓的半徑，而通過構(gòu)造三角形全等得到點(diǎn)R的坐標(biāo)則是解決第（3）小題的關(guān)鍵．