Question

已知圓P的圓心在反比例函數(shù)圖象上，并與x軸相交于A、B兩點(diǎn)． 且始終與y軸相切于定點(diǎn)C(0，1)．

（1）求經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的二次函數(shù)圖象的解析式;
（2）若二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為D，問當(dāng)k為何值時(shí)，四邊形ADBP為菱形．

Answer 1

(1) y=+1－（2）

解：(1)連結(jié)PC、PA、PB，過P點(diǎn)作PH⊥x軸，垂足為H． …………………1分

∵⊙P與軸相切于點(diǎn)C (0，1)，
∴PC⊥軸．
∵P點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（k，1）． …………………2分
∴PA=PC=k．
在Rt△APH中，AH==，
∴OA=OH—AH=k－．
∴A（k－，0）． …………………………3分
∵由⊙P交x軸于A、B兩點(diǎn)，且PH⊥AB，由垂徑定理可知， PH垂直平分AB．

∴OB=OA+2AH= k－+2=k+，
∴B(k+，0)．    ……………………………………………………………………4分
故過A、B兩點(diǎn)的拋物線的對(duì)稱軸為PH所在的直線解析式為x=k．
可設(shè)該拋物線解析式為y=a+h． …………………………………………………5分
又拋物線過C(0，1)， B(k+，0)， 得：                 
     
解得a=1，h=1－．       …………………7分
∴拋物線解析式為y=+1－．……8分
（2）由(1)知拋物線頂點(diǎn)D坐標(biāo)為（k， 1－）
∴DH=－1．
若四邊形ADBP為菱形．則必有PH=DH．………………………………………………10分
∵PH=1，∴－1=1．          
又∵k＞1，∴k=             …………………………………………………………11分
∴當(dāng)k取時(shí)，PD與AB互相垂直平分，則四邊形ADBP為菱形． …………………12分
（1）連接PC，過P點(diǎn)作PH⊥x軸，垂足為H，根據(jù)圓的切線性質(zhì)，可知PC⊥軸，由勾股定理及垂徑定理，C (0，1)可得到A，B即可
（2）根據(jù)菱形的對(duì)角線互相平分，則有，得到關(guān)于的方程即可