Question

是否存在質(zhì)數(shù)p．q，使得關(guān)于x的一元二次方程px²-qx+p=O有有理數(shù)根？

Answer 1

分析：先設(shè)方程有有理數(shù)根，則判別式為平方數(shù)．令△=q²-4p²=n²，再把此方程化為完全平方的形式，再根據(jù)q-n與q+n同為偶數(shù)列出關(guān)于n、p、q的方程組，用p表示出q，再根據(jù)q-n與q+n同為偶數(shù)而p．q為質(zhì)數(shù)可知p=2，代入關(guān)于p、q的式子，求出符合條件的p、q的對(duì)應(yīng)值，代入原方程求出方程的根，再根據(jù)有理數(shù)的概念進(jìn)行解答即可．

解答：解：設(shè)方程有有理數(shù)根，則判別式為平方數(shù)．令△=q²-4p²=n²，
規(guī)定其中n是一個(gè)非負(fù)整數(shù)．則（q-n）（q+n）=4p²．（5分）
由于1≤q-n≤q+n，且q-n與q+n同奇偶，故同為偶數(shù)，
因此，有如下幾種可能情形：

q-n=2 q+n=2p2

、

q-n=4 q+n=p2

、

q-n=p q+n=4p

、

q-n=2p q+n=2p

、

q-n=p2 q+n=4.

消去n，解得q=p2+1，q=2+

p2

2

，q=

5p

2

，q=2p，q=2+

p2

2

．（10分）
對(duì)于第1，3種情形，p=2，從而q=5；
對(duì)于第2，5種情形，p=2，從而q=4（不合題意，舍去）；
對(duì)于第4種情形，q是合數(shù)（不合題意，舍去）．
又當(dāng)p=2，q=5時(shí)，方程為2x²-5x+2=0，它的根為x1=

1

2

，x2=2，它們都是有理數(shù)．
綜上所述，存在滿足題設(shè)的質(zhì)數(shù)．（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是質(zhì)數(shù)與合數(shù)的概念、根的判別式、奇數(shù)與偶數(shù)，涉及面較廣，難度較大．