Question

3．如圖所示，∠BAC=∠ABD，AC=BD，點O是AD，BC的交點．
（1）求證：∠CBA=∠DAB；
（2）若AD⊥AC，且OA=3，AC=4，求BC的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)SAS推出△ABC≌△BAD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出即可；
（2）根據(jù)全等得出OB=OA，根據(jù)勾股定理求出OC，即可得出答案．

解答 （1）證明：在△ABC和△BAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BD}\\{∠CAB=∠DBA}\\{AB=BA}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△BAD（SAS），
∴∠CBA=∠DAB；

（2）解：∵∠CBA=∠DAB，OA=3，
∴OB=OA=3，
∵AD⊥AC，
∴∠CAO=90°，
∵OA=3，AC=4，
∴由勾股定理得：OC=5，
∴BC=3+5=8．

點評 本題考查了勾股定理，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能推出△ABC≌△BAD是解此題的關(guān)鍵．