Question

6．課本的作業(yè)題中有這樣一道題：把一張頂角為36°的等腰三角形紙片剪兩刀，分成3張小紙片，使每張小紙片都是等腰三角形，你能辦到嗎？請畫示意圖說明剪法．
我們有多少種剪法，圖1是其中的一種方法：定義：如果兩條線段將一個(gè)三角形分成3個(gè)等腰三角形，我們把這兩條線段叫做這個(gè)三角形的三分線．

（1）請你在圖2中用兩種不同的方法畫出頂角為45°的等腰三角形的三分線，并標(biāo)注每個(gè)等腰三角形頂角的度數(shù)；（若兩種方法分得的三角形成3對(duì)全等三角形，則視為同一種）
（2）△ABC中，∠B=30°，AD和DE是△ABC的三分線，點(diǎn)D在BC邊上，點(diǎn)E在AC邊上，且AD=BD，DE=CE，設(shè)∠C=x°，試畫出示意圖，并求出x所有可能的值；
（3）如圖3，△ABC中，AC=3，BC=4，∠C=2∠B，請畫出△ABC的三分線，并求出三分線的長．

Answer 1

分析 （1）45°自然想到等腰直角三角形，過底角一頂點(diǎn)作對(duì)邊的高，發(fā)現(xiàn)形成一個(gè)等腰直角三角形和直角三角形．直角三角形斜邊的中線可形成兩個(gè)等腰三角形，則易得一種情況．第二種情形可以考慮題例中給出的方法，試著同樣以一底角作為新等腰三角形的底角，則另一底角被分為45°和22.5°，再以22.5°分別作為等腰三角形的底角或頂角，易得其中作為底角時(shí)所得的三個(gè)三角形恰都為等腰三角形．即又一三分線作法．
（2）用量角器，直尺標(biāo)準(zhǔn)作30°角，而后確定一邊為BA，一邊為BC，根據(jù)題意可以先固定BA的長，而后可確定D點(diǎn)，再標(biāo)準(zhǔn)作圖實(shí)驗(yàn)--分別考慮AD為等腰三角形的腰或者底邊，兼顧A、E、C在同一直線上，易得2種三角形ABC．根據(jù)圖形易得x的值．
（3）因?yàn)椤螩=2∠B，作∠C的角平分線，則可得第一個(gè)等腰三角形．而后借用圓規(guī)，以邊長畫弧，根據(jù)交點(diǎn)，尋找是否存在三分線，易得如圖4圖形為三分線．則可根據(jù)外角等于內(nèi)角之和及腰相等等情況列出等量關(guān)系，求解方程可知各線的長．

解答 解：（1）如圖2作圖，
；
（2）如圖3 ①、②作△ABC．
；
①當(dāng)AD=AE時(shí)，
∵2x+x=30°+30°，
∴x=20°．                              
②當(dāng)AD=DE時(shí)，
∵30°+30°+2x+x=180°，
∴x=40°．                     
（3）如圖4，

CD、AE就是所求的三分線．            
設(shè)∠B=α，則∠DCB=∠DCA=∠EAC=α，∠ADE=∠AED=2α，
此時(shí)△AEC∽△BDC，△ACD∽△ABC，
設(shè)AE=AD=x，BD=CD=y，
∵△AEC∽△BDC，
∴$\frac{x}{y}$=$\frac{3}{4}$，
∵△ACD∽△ABC，
∴$\frac{3}{x}$=$\frac{x+y}{3}$，
所以聯(lián)立得方程組$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x}{y}=\frac{3}{4}}\\{\frac{3}{x}=\frac{x+y}{3}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{7}\sqrt{21}}\\{y=\frac{4}{7}\sqrt{21}}\end{array}\right.$，
即三分線長分別是$\frac{3}{7}$$\sqrt{21}$和$\frac{4}{7}$$\sqrt{21}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查相似形的綜合題，三角形內(nèi)角、外角間的關(guān)系及等腰三角形知識(shí)，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)成比例的線段聯(lián)立方程解決問題．