6.課本的作業(yè)題中有這樣一道題:把一張頂角為36°的等腰三角形紙片剪兩刀,分成3張小紙片,使每張小紙片都是等腰三角形,你能辦到嗎?請畫示意圖說明剪法.
我們有多少種剪法,圖1是其中的一種方法:定義:如果兩條線段將一個三角形分成3個等腰三角形,我們把這兩條線段叫做這個三角形的三分線.

(1)請你在圖2中用兩種不同的方法畫出頂角為45°的等腰三角形的三分線,并標注每個等腰三角形頂角的度數(shù);(若兩種方法分得的三角形成3對全等三角形,則視為同一種)
(2)△ABC中,∠B=30°,AD和DE是△ABC的三分線,點D在BC邊上,點E在AC邊上,且AD=BD,DE=CE,設∠C=x°,試畫出示意圖,并求出x所有可能的值;
(3)如圖3,△ABC中,AC=3,BC=4,∠C=2∠B,請畫出△ABC的三分線,并求出三分線的長.

分析 (1)45°自然想到等腰直角三角形,過底角一頂點作對邊的高,發(fā)現(xiàn)形成一個等腰直角三角形和直角三角形.直角三角形斜邊的中線可形成兩個等腰三角形,則易得一種情況.第二種情形可以考慮題例中給出的方法,試著同樣以一底角作為新等腰三角形的底角,則另一底角被分為45°和22.5°,再以22.5°分別作為等腰三角形的底角或頂角,易得其中作為底角時所得的三個三角形恰都為等腰三角形.即又一三分線作法.
(2)用量角器,直尺標準作30°角,而后確定一邊為BA,一邊為BC,根據(jù)題意可以先固定BA的長,而后可確定D點,再標準作圖實驗--分別考慮AD為等腰三角形的腰或者底邊,兼顧A、E、C在同一直線上,易得2種三角形ABC.根據(jù)圖形易得x的值.
(3)因為∠C=2∠B,作∠C的角平分線,則可得第一個等腰三角形.而后借用圓規(guī),以邊長畫弧,根據(jù)交點,尋找是否存在三分線,易得如圖4圖形為三分線.則可根據(jù)外角等于內(nèi)角之和及腰相等等情況列出等量關系,求解方程可知各線的長.

解答 解:(1)如圖2作圖,
;
(2)如圖3 ①、②作△ABC.
;
①當AD=AE時,
∵2x+x=30°+30°,
∴x=20°.                              
②當AD=DE時,
∵30°+30°+2x+x=180°,
∴x=40°.                     
(3)如圖4,

CD、AE就是所求的三分線.            
設∠B=α,則∠DCB=∠DCA=∠EAC=α,∠ADE=∠AED=2α,
此時△AEC∽△BDC,△ACD∽△ABC,
設AE=AD=x,BD=CD=y,
∵△AEC∽△BDC,
∴$\frac{x}{y}$=$\frac{3}{4}$,
∵△ACD∽△ABC,
∴$\frac{3}{x}$=$\frac{x+y}{3}$,
所以聯(lián)立得方程組$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x}{y}=\frac{3}{4}}\\{\frac{3}{x}=\frac{x+y}{3}}\end{array}\right.$,
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{7}\sqrt{21}}\\{y=\frac{4}{7}\sqrt{21}}\end{array}\right.$,
即三分線長分別是$\frac{3}{7}$$\sqrt{21}$和$\frac{4}{7}$$\sqrt{21}$.

點評 此題考查相似形的綜合題,三角形內(nèi)角、外角間的關系及等腰三角形知識,掌握相似三角形的判定與性質(zhì),根據(jù)成比例的線段聯(lián)立方程解決問題.

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