Question

拋物線中，b，c是非零常數，無論a為何值（0除外），其頂點M一定在直線y=kx+b上，這條直線和x軸，y軸分別交于點E，A，且OA=OE.

（1）求k的值；

（2）求證：這條拋物線經過點A；

（3）經過點A的另一條直線y=mx+n和這條拋物線只有一個公共點，經過點M作x軸的平行線和直線y=mx+n交于點B，經過點B作x軸的垂線和這條拋物線交于點C，和直線y=kx+1交于點D，探索CD和BC的數量關系.

Answer 1

(1)k＝1……………………… (1分)

(2)將頂點M坐標代入y＝x＋1化簡得：(4c－4)a＝b²－2b………………… (3分)

∵無論a為和何值，等式都成立，所以4c－4＝0，b²－2b＝0

∴c＝1，b＝2

（也可以取兩個特殊值得到點M的坐標，代入直線表達式求出b，c的值）

∴拋物線經過點A……………………… (5分)

 (3)由題意：方程mx＋1＝ax²＋2x＋1的△＝0，

∴(2－m)²＝0，m＝2………………………(7分)

∴點B，C，D的坐標分別是B(－，)，C(－， )，D(－，)；……… (10分)

用a表示出BC，CD的長度，得到BC＝CD＝||………………… (12分)

（求出BC＝－或不扣分）