Question

【題目】如圖，已知矩形ABCD中，AB=3，BC=5，P是線段BC上的一動(dòng)點(diǎn)．

（1）請(qǐng)用不帶刻度的直尺和圓規(guī)，按下列要求作圖：（不要求寫(xiě)作法，但保留作圖痕跡），在CD邊上確定一點(diǎn)E，使得∠DEP+∠APB=180°；

（2）在（1）的條件下，點(diǎn)P從點(diǎn)B移動(dòng)到點(diǎn)C的過(guò)程中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)E隨之運(yùn)動(dòng)，則移動(dòng)過(guò)程中點(diǎn)E經(jīng)過(guò)的總路程長(zhǎng)為 ．

Answer 1

【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）．

【解析】

（1）過(guò)點(diǎn)P作PE⊥PA交CD于E，點(diǎn)E即為所求．

（2）設(shè)PB＝x，EC＝y，利用相似三角形的性質(zhì)構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題即可．

（1）如圖點(diǎn)E即為所求．

（2）設(shè)PB=x，EC=y．

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB=CD=3，BC=AD=5，∠B=∠C=90°．

∵∠APE=90°，

∴∠APB+∠EPC=90°，∠EPC+∠PEC=90°，

∴∠APB=∠PEC，

∴△ABP∽△PCE，

∴，

∴，

∴y=﹣x2+=﹣（x﹣）2+．

∵﹣＜0，

∴x=時(shí)，y有最大值，最大值為，

觀察圖象可知：當(dāng)點(diǎn)P從B運(yùn)動(dòng)到C時(shí)，CE的值從0增加到，然后逐漸減小到0，

∴點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)=2×=．

故答案為：．