Question

已知關(guān)于x的方程x²-2（k+1）x+k²+k-2=0有實(shí)數(shù)根．
（1）求k的取值范圍；
（2）若以此方程的兩個(gè)根為橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)的點(diǎn)P恰好在雙曲線y=

1-k

x

上，求k的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式的意義得△=[-2（k+1）]²-4×（k²+k-2）≥0，即4k+12≥0，解不等式即可；
（2）設(shè)原方程的兩個(gè)根為x₁，x₂，而以此方程的兩個(gè)根為橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)的點(diǎn)P恰好在雙曲線y=

1-k

x

上，則x₁x₂=1-k，且1-k≠0，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得x₁x₂=k²+k-2，這樣就得到關(guān)于k的方程k²+k-2=1-k，解方程，即可得到滿足條件的k的值．

解答：解：（1）∵方程x²-2（k+1）x+k²+k-2=0有實(shí)數(shù)根．
∴△=[-2（k+1）]²-4×（k²+k-2）≥0，即4k+12≥0，
解得　k≥-3；
（2）設(shè)原方程的兩個(gè)根為x₁，x₂，
根據(jù)題意得x₁x₂=1-k，且1-k≠0，
又由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得：x₁x₂=k²+k-2，
∴k²+k-2=1-k，
解得 k₁=1，k₂=-3，
而k≠1，
∴k=-3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．也考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系．