Question

如圖，菱形ABCD中，∠BCD=120°，點(diǎn)F是BD上一點(diǎn)，EF⊥CF，AE⊥EF，AE=3，EF=4，則AB的長(zhǎng)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：如圖所示，連接AC交BD于H，延長(zhǎng)AE與BC交于點(diǎn)M，交BH于點(diǎn)N，根據(jù)菱形的性質(zhì)可以得到△ABC是等邊三角形，∠BCA=60°，構(gòu)造△ANH≌△CHF，利用勾股定理求得線段AN、NF、CH的長(zhǎng)度可以求得AM的長(zhǎng)度，即可得到答案．

解答：解：如圖所示，連接AC交BD于H，延長(zhǎng)AE與BC交于點(diǎn)M，交BH于點(diǎn)N，
在△ANH和△CHF中，

∠AHN=∠AHF ∠ANH=∠CHF AH=CH

∴△ANH≌△CHF（AAS），
∴NH=HF，AN=CF，
∵四邊形ABCD是菱形，∠BCD=120°，
∴∠BCA=60°，且BA=BC，
∴△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC
又∵EF⊥CF，AE⊥EF，AE=3，EF=4，根據(jù)勾股定理：
∴AF=CF=AN=5，EN=2，
又∵EF=4，
∴NF=

EN2+EF2

=2

5

，
∴NH=HF=

5

，
∴CH=

CF2-HF2

=2

5

，
∴AB=BC=

CH

sin30°

=2

5

×2=4

5

．
故答案為：4

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形全等菱形的性質(zhì)以及勾股定理的綜合應(yīng)用，構(gòu)造全等三角形是解答本題的關(guān)鍵．