Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以O(shè)為圓心，以的長(zhǎng)為半徑作⊙O交x軸于P、Q兩點(diǎn)，交y軸于G、H兩點(diǎn)，△ABC內(nèi)接于⊙O，且BC∥x軸交y軸于D，∠BAC=45°（如圖1）．
（1）求C點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)A在x軸上方的半圓上運(yùn)動(dòng)（不與G重合），且CA的延長(zhǎng)線交y軸于M，AB交y軸于N（如圖2），當(dāng)A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，ON•OM的值是否發(fā)生變化？若變化，說(shuō)明理由；若不變，求出其值；
（3）若點(diǎn)A在⊙O上運(yùn)動(dòng)（不與B、C重合），是否存在點(diǎn)A，使△ABC為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出A點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）∵∠BOC=2∠BAC=90°，
即△BOC是等腰直角三角形，CO=，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（sin45°，-cos45°），
即（1，-1）；

（2）當(dāng)A位于y正半軸與圓的交點(diǎn)時(shí)，ON=OM=，ON•OM=2；
A位于x負(fù)半軸與圓的交點(diǎn)時(shí)，
∴ON=，OM=，
∴ON•OM=2．
當(dāng)A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，ON•OM的值不發(fā)生變化，ON•OM=2．

（3）當(dāng)AB=AC時(shí)，圓與y軸的交點(diǎn)即A的可能取值，
故A（0，）或（0，）；
當(dāng)AB=BC時(shí)，A與C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，此時(shí)A（-1，1）；
當(dāng)BC=AC時(shí)，A與C關(guān)于x軸對(duì)稱，此時(shí)A（1，1）．
分析：（1）利用三角形BOC是直角三角形即可解出C點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）分析幾個(gè)特殊位置：當(dāng)A位于y正半軸與圓的交點(diǎn)或A位于x負(fù)半軸與圓的交點(diǎn)時(shí)值不變．
（3）分類討論，分別討論當(dāng)AB，AC，BC為腰時(shí)的情況．
點(diǎn)評(píng)：考查了三角形外接圓的靈活應(yīng)用，對(duì)動(dòng)態(tài)點(diǎn)的討論和分析．