Question

如圖，二次函數(shù)y=

1

2

x²+bx+c的圖象與x軸交于M（-1，0），N（3，0）兩點(diǎn)，橫坐標(biāo)為-2的點(diǎn)S是拋物線上一定點(diǎn)，點(diǎn)A是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)．若點(diǎn)A從點(diǎn)S出發(fā)，橫坐標(biāo)以1個(gè)單位的速度增加，沿拋物線運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)A作矩形ABCD，AB∥x軸，AD∥y軸，且AB=2，AD=1．點(diǎn)P以1個(gè)單位的速度同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→B→C→D→A的方向在矩形的邊上運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)P返回A點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動(dòng)均停止．設(shè)點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．
（1）求點(diǎn)S的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)點(diǎn)t=2.5時(shí)，求P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3 以點(diǎn)P為圓心，

t

2

長(zhǎng)為半徑作圓．當(dāng)t為何值時(shí)，⊙P與x軸相切．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）先根據(jù)待定系數(shù)法求得拋物線的解析式，然后把S點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入即可求得．
（2）先求得A點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入拋物線的解析式即可求得縱坐標(biāo)，然后根據(jù)題意求得P點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）先求得P點(diǎn)的縱坐標(biāo)，然后根據(jù)題意使縱坐標(biāo)等于

t

2

或-

t

2

即可列出關(guān)于t的一元二次方程，解這個(gè)方程即可．

解答：解：（1）∵二次函數(shù)y=

1

2

x²+bx+c的圖象與x軸交于M（-1，0），N（3，0）兩點(diǎn)，
∴

1 2 × 1 4 -b+c=0 1 2 ×9+3b+c=0

 解得：

b=-1 c=- 3 2

，
∴拋物線的解析式為：y=

1

2

x²-x-

3

2

，
把x=-2代入解析式得：y=

1

2

×4+2-

3

2

=

5

2

，
∴S（-2，

5

2

），

（2）∵點(diǎn)A從點(diǎn)S出發(fā)，橫坐標(biāo)以1個(gè)單位的速度增加，t=2.5，
∴A的橫坐標(biāo)為：x=-2+2.5=

1

2

，
把x=

1

2

代入y=

1

2

x²-x-

3

2

，解得：y=-

15

8

，
∴A（

1

2

，-

15

8

），
∵AB=2，AD=1，
∴P點(diǎn)的橫坐標(biāo)：x=

1

2

+2=

5

2

，縱坐標(biāo)y=-

15

8

-

1

2

=-

19

8

．
∴P（

5

2

，-

19

8

）．

（3）當(dāng)0≤t≤2時(shí)，根據(jù)題意A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：x=-2+t，
代入y=

1

2

x²-x-

3

2

得：y=

1

2

t²-3t+

5

2

，
∴A（-2+t，

1

2

t²-3t+

5

2

），
∴P（-2+2t，

1

2

t²-3t+

5

2

），
根據(jù)題意
∴

1

2

t²-3t+

5

2

=

t

2

，或

1

2

t²-3t+

5

2

=-

t

2

，
整理得：t²-7t+5=0，或t²-5t+5=0
解得：t=

7- 29

2

，t=

7+ 29

2

（舍去）或t=

5- 5

2

，t=

5+ 5

2

（舍去）
當(dāng)2＜t≤3時(shí)，∵A（-2+t，

1

2

t²-3t+

5

2

），
∴P點(diǎn)的橫坐標(biāo)=-2+t+2=t，縱坐標(biāo)=

1

2

t²-3t+

5

2

-（t-2）=

1

2

t²-4t+

9

2

，
根據(jù)題意得：

1

2

t²-4t+

9

2

=

t

2

，
整理得t²-7t+9=0，
解得：t=

7+ 13

2

，t=

7- 13

2

（都不合題意）
∴t不存在；
當(dāng)3＜t≤5時(shí)，∵A（-2+t，

1

2

t²-3t+

5

2

），
∴P點(diǎn)的橫坐標(biāo)=-2+t+[2-（t-3）]=3，縱坐標(biāo)=

1

2

t²-3t+

5

2

-1=

1

2

t²-3t+

3

2

，
根據(jù)題意得：

1

2

t²-3t+

3

2

=-

t

2

，
整理得：t²-5t+3=0，
解得：t=

5+ 13

2

，t=

5- 13

2

（舍去），
當(dāng)5＜t≤6時(shí)，P點(diǎn)的橫坐標(biāo)=-2+t，縱坐標(biāo)=

1

2

t²-3t+

5

2

-（6-t）=

1

2

t²-2t+

7

2

，
根據(jù)題意得：

1

2

t²-2t+

7

2

=

t

2

，
整理得；t²-3t+7=0，無解，
∴t不存在，
∴當(dāng)t=

7- 29

2

，t=

5- 5

2

，t=

5+ 13

2

時(shí)，⊙P與x軸相切．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)的橫坐標(biāo)求縱坐標(biāo)，解一元二次方程等；應(yīng)用分類思想求運(yùn)動(dòng)過程中圖形的變化是本題的關(guān)鍵，此題綜合性強(qiáng)，難度大．