Question

17．如圖，已知AC⊥CB，DB⊥CB，AB⊥DE，垂足為F，AB=DE，E是BC的中點．
（1）求證：BD=BC；
（2）若AC=3，求BD的長．

Answer 1

分析 （1）由DE⊥AB，可得∠BFE=90°，由直角三角形兩銳角互余，可得∠ABC+∠DEB=90°，由∠ACB=90°，由直角三角形兩銳角互余，可得∠ABC+∠A=90°，根據同角的余角相等，可得∠A=∠DEB，然后根據AAS判斷△ABC≌△EDB，根據全等三角形的對應邊相等即可得到BD=BC；
（2）由（1）可知△ABC≌△EDB，根據全等三角形的對應邊相等，得到AC=BE，由E是BC的中點，得到BD=BC=2BE．

解答 解：（1）∵DE⊥AB，可得∠BFE=90°，
∴∠ABC+∠DEB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠A=90°，
∴∠A=∠DEB，
在△ABC和△EDB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACB=∠EBD}\\{∠A=∠DEB}\\{AB=ED}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△EDB（AAS），
∴BD=BC；

（2）∵△ABC≌△EDB，
∴AC=BE=3，
∵E是BC的中點，
∴BC=2BE=6，
∴BD=BC=6．

點評 此題考查了全等三角形的判定與性質，普通兩個三角形全等共有四個定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，無法證明三角形全等，本題是一道較為簡單的題目，找準全等的三角形是解決本題的關鍵．