Ⅰ．如圖①，在△ABC中，點D，E，Q分別在AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于點P．求證：
DP
BQ
=
PE
QC
；
Ⅱ．如圖②，在△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四個頂點在△ABC的邊上，連結AG，AF，分別交DE于M，N兩點．

（1）如圖②，若AB=AC=1，直接寫出MN的長；
（2）如圖③，探究DM，MN，EN之間的關系，并說明理由．
考點：相似三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì)
專題：
分析：（1）可證明△ADP∽△ABQ，△ACQ∽△ADP，從而得出
DP
BQ
=
PE
QC
；
（2）①根據(jù)三角形的面積公式求出BC邊上的高
2
2
，根據(jù)△ADE∽△ABC，求出正方形DEFG的邊長
2
3
，根據(jù)
MN
GF
等于高之比即可求出MN；
②可得出MN2=DM•EN，由△BGD∽△EFC，則DG•EF=CF•BG；又由DG=GF=EF，得GF2=CF•BG，再根據(jù)（1）
DM
BG
=
MN
BF
=
EN
FC
，從而得出答案．
解答：（1）證明：在△ABQ和△ADP中，
∵DP∥BQ，
∴△ADP∽△ABQ，
∴
DP
BQ
=
AP
AQ
，
同理在△ACQ和△APE中，
PE
QC
=
AP
AQ
，
∴
DP
BQ
=
PE
QC
；

（2）①解：作AQ⊥BC于點Q．
∵BC邊上的高AQ=
2
2
，
∵DE=DG=GF=EF=BG=CF
∴DE：BC=1：3
又∵DE∥BC，
∴AD：AB=1：3，
∴AD=
1
3
，DE=
2
3
，
∵DE邊上的高為
2
6
，MN：GF=
2
6
：
2
2
，
∴MN：
2
3
=
2
6
：
2
2
，
∴MN=
2
9
．
②MN2=DM•EN．
證明：∵∠B+∠C=90°∠CEF+∠C=90°，
∴∠B=∠CEF，
又∵∠BGD=∠EFC，
∴△BGD∽△EFC，
∴
DG
CF
=
BG
EF
，
∴DG•EF=CF•BG，
又∵DG=GF=EF，
∴GF2=CF•BG，
由（1）得
DM
BG
=
MN
BF
=
EN
FC
，
∴
MN
GF
×
MN
GF
=
DM
BG
•
EN
CF
，
∴（
MN
GF
）2=
DM
BG
•
EN
CF
，
∵GF2=CF•BG，
∴MN2=DM•EN．
點評：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)，是一道綜合題目，注意利用相似三角形的對應邊成比例解決問題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知正方形ABCD的邊長為1，以頂點A、B為圓心，1為半徑的兩弧交于點E，以頂點C、D為圓心，1為半徑的兩弧交于點F，則EF的長為（　�。�
A、
2
3
B、
3
2
C、2-
3
D、
3
-1

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

已知某工廠計劃用庫存的302m3木料為某學校生產(chǎn)500套桌椅，供該校1250名學生使用，該廠生產(chǎn)的桌椅分為A，B兩種型號，有關數(shù)據(jù)如下：
桌椅型號一套桌椅所坐學生人數(shù)（單位：人）生產(chǎn)一套桌椅所需木材（單位：m3）一套桌椅的生產(chǎn)成本（單位：元）一套桌椅的運費（單位：元）
A20.51002
B30.71204
設生產(chǎn)A型桌椅x（套），生產(chǎn)全部桌椅并運往該校的總費用（總費用=生產(chǎn)成本+運費）為y元．
（1）求y與x之間的關系式，并指出x的取值范圍；
（2）當總費用y最小時，求相應的x值及此時y的值．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，動點P以2個單位/秒的速度從A點出發(fā)，沿對角線AC向C移動，同時動點Q以1個單位/秒的速度從C點出發(fā)，沿CB向點B移動，當其中有一點到達終點時，它們都停止移動．設移動的時間為t秒．
（1）求△CPQ的面積S與時間t之間的函數(shù)關系式；
（2）以P為圓心，PA為半徑的圓與以Q為圓心，QC為半徑的圓相切時，求出t的值；
（3）在P、Q移動的過程中，當△CPQ為等腰三角形時，直接寫出t的值．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知△ABC和過點O的直線L．
（1）畫出△ABC關于直線L對稱的△A′B′C′；
（2）畫出△ABC關于點O成中心對稱的△A′′B′′C′′．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

小寶和爸爸、媽媽三人在操場上玩蹺蹺板，爸爸體重為72千克，坐在蹺蹺板的一端；體重只有媽媽一半的小寶和媽媽一同坐在蹺蹺板的一端．這時，爸爸的一端仍然著地．后來，小寶借來一副質(zhì)量為6千克的啞鈴，加在他和媽媽坐的一端，結果，爸爸被高高蹺起．請你求出小寶的體重在什么范圍內(nèi)？

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

初中生的心理教育一直是教育工作者關注的問題之一，為此某學校對本校八年級學生進行了一次心理素質(zhì)測試，測試總分為100分，分數(shù)取整數(shù)，為便于分層對學生進行心理輔導，學校按學生的測試成績（x分）將學生分為三個層次，A級：x≥90；B級：60≤x＜90；C級：x＜60，并將測試結果繪制成統(tǒng)計圖（不完整）．請根據(jù)圖中提供的信息，回答下列問題：

（1）求此次參加心理素質(zhì)測試的學生公有多少名？
（2）求此次心理素質(zhì)測試為C級的學生占所有參加心理素質(zhì)測試學生的百分比；
（3）此次心理素質(zhì)測試成績的中位數(shù)在
 
級層次中．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

已知：等邊△ABC的邊長為3
3
，⊙O的半徑為r．

（1）如圖（1），若⊙O從與AC相切于點A的位置出發(fā)，在△ABC外部按順時針方向沿三角形滾動，最后回到開始的位置．
①求圓心O經(jīng)過的路徑長（用含r的代數(shù)式表示）；
②當r=
3
2π
時，⊙O自轉(zhuǎn)了幾圈？
（2）如圖（2），若將⊙O的圓心O與點A重合，然后將圓心O沿線路AC→CB→BA運動，最后回到點A，⊙O隨點O的運動而移動．
①在移動過程中，⊙O與等邊△ABC的邊會有相切的位置關系，從切點的個數(shù)來考慮，相切有幾種不同情況？寫出不同情況下，r的取值范圍及相應的切點個數(shù)．
②在移動過程中，在△ABC內(nèi)部，⊙O未經(jīng)過的部分的面積為S，在S＞0時，求S關于r的函數(shù)解析式，并寫出自變量r的取值范圍．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

“端午節(jié)”是我國傳統(tǒng)佳節(jié)，民間歷來有吃“粽子”的習俗．某食品廠為了了解市民對去年銷量較好的A（肉餡粽子）、B（紅棗粽子）、C（蛋黃粽子）三種不同口味粽子的喜愛情況，在節(jié)前對市民進行了隨機調(diào)查．并對調(diào)查情況繪制了如下都不完整的統(tǒng)計圖．請根據(jù)圖中信息，完成下列各題．

（1）本次被隨機調(diào)查的市民有多少人？
（2）將兩幅統(tǒng)計圖補充完整；
（3）求扇形統(tǒng)計圖中“C”所在的扇形圓心角的度數(shù)；
（4）若該市人口約有120000人，請你根據(jù)調(diào)查結果估計其中喜歡“肉餡粽子”的人數(shù)．

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