Question

（1）如圖1，已知點E是等腰梯形ABCD邊BC上的點，連接AE交對角線BD于F，在BC上找一點G，連DG交AC于H，使GH=EF（保留作圖痕跡，不寫做法）．
（2）如圖2，小明做出圖后發(fā)現(xiàn)，此時四邊形AEGD剛好是等腰梯形，于是小明猜想：如圖3在任意梯形ABCD中，AD∥BC，E，F(xiàn)為AB，CD上的點，若EB=FC，∠DAF=∠ADE，則梯形ABCD為等腰梯形．小明猜想正確嗎？說明理由．

Answer 1

考點：等腰梯形的性質(zhì),等腰梯形的判定

專題：

分析：（1）在BC上截取CG=BE，連接DG與AC相交于H，根據(jù)等腰梯形的軸對稱性，EF與GH重合；
（2）延長DE、AF分別與BC相交于點G、H，設(shè)AF、DE相交于點O，根據(jù)等角對等邊可得AO=DO，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠OGH=∠OHG，再根據(jù)等角對等邊可得OG=OH，然后求出AH=DG，再根據(jù)對角線相等的梯形是等腰梯形得到四邊形AGHD是等腰梯形，然后利用（1）的結(jié)論證明即可．

解答：解：（1）GH如圖所示；

（2）根據(jù)（1）的作圖，由等腰梯形的軸對稱性可得AE=DG，
所以，四邊形AEGD是等腰梯形，
如圖，延長DE、AF分別與BC相交于點G、H，
設(shè)AF、DE相交于點O，
∵∠DAF=∠ADE，
∴AO=DO，
∵AD∥BC，
∴∠OGH=∠ADE，∠OHG=∠DAF，
∴∠OGH=∠OHG，
∴OG=OH，
∵AH=AO+OH，DG=DO+OG，
∴AH=DG，
∴四邊形AGHD是等腰梯形，
∴梯形ABCD為等腰梯形．

點評：本題考查了梯形的性質(zhì)，梯形的判定，主要利用了等腰梯形的軸對稱性，讀懂題目信息，理解（1）的作圖理論依據(jù)和小明發(fā)現(xiàn)問題的方法是解題的關(guān)鍵．