Question

20．如圖，四邊形OMTN中，OM=ON，TM=TN，我們把這種兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做箏形．
（1）試探究箏形對角線之間的位置關系，并證明你的結論；
（2）在箏形ABCD中，已知AB=AD=10，BC=CD，BC＞AB，BD、AC為對角線，BD=16，
①若∠ABC=90°，求AC的長．
②過點B作BF⊥CD于F，BF交AC于點E，連接DE．當四邊形ABED為菱形時，求點F到AB的距離．

Answer 1

分析 （1）如圖1，證明△OMT≌△ONT，得∠MOT=∠NOT，再根據(jù)等腰△OMN三線合一的性質得MN⊥OT；
（2）①如圖2，先根據(jù)勾股定理求AO的長，再利用勾股定理列方程求OC的長，則AC=OC+AO，代入得出結論；
②如圖3，先證明△BEM∽△BDF，可得$\frac{BE}{BD}=\frac{EM}{DF}$，求出DF=9.6；再通過勾股定理求EF的長，則得BF的長，通過證明△BGF∽△EFD，得$\frac{BF}{DE}=\frac{FG}{DF}$，所以可以求FG的長，即點F到AB的距離．

解答 解：（1）如圖1，連接MN、OT交于點A，
MN⊥OT，理由是：
∵OM=ON，TM=TN，OT=OT，
∴△OMT≌△ONT，
∴∠MOT=∠NOT，
∵OM=ON，
∴MN⊥OT；
（2）①如圖2，∵四邊形ABCD為箏形，
∴AC⊥BD，
∵AB=AD，
∴OB=OD=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$×16=8，
由勾股定理得：AO=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，
設OC=x，
∵∠ABC=90°，
∴BC²=AC²-AB²，BC²=OC²+OB²，
∴8²+x²=（6+x）²-10²，
解得：x=$\frac{32}{3}$，
∴AC=OA+OC=6+$\frac{32}{3}$=$\frac{50}{3}$；
②∵四邊形ABED為菱形，
∴BE=AD=10，EM=AM=6，
∵∠FBD=∠FBD，∠BMC=∠BFD=90°，
∴△BEM∽△BDF，
∴$\frac{BE}{BD}=\frac{EM}{DF}$，
∴$\frac{10}{16}=\frac{6}{DF}$，
∴DF=9.6，
在Rt△DEF中，EF=$\sqrt{D{E}^{2}-D{F}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-9．{6}^{2}}$=2.8，
∴BF=2.8+10=12.8，
∵∠BGF=∠EFD=90°，∠GBF=∠FED，
∴△BGF∽△EFD，
∴$\frac{BF}{DE}=\frac{FG}{DF}$，
∴FG=$\frac{BF•DF}{DE}$=$\frac{12.8×9.6}{10}$=12.288．
則點F到AB的距離為12.288．

點評 本題是四邊形的綜合題，考查了箏形的定義，并根據(jù)定義判斷箏形的對角線互相垂直；本題還考查了全等三角形、相似三角形的性質和判定，多次運用相似三角形對應邊的比和勾股定理求邊長．