Question

如圖，定義：若雙曲線y=

k

x

（k＞0）與它的其中一條對(duì)稱軸y=x相交于A、B兩點(diǎn)，則線段AB的長(zhǎng)度為雙曲線y=

k

x

（k＞0）的對(duì)徑．
（1）求雙曲線y=

1

x

的對(duì)徑．
（2）若雙曲線y=

k

x

（k＞0）的對(duì)徑是8

2

，求k的值．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題

專(zhuān)題：

分析：（1）解兩個(gè)函數(shù)的解析式組成的方程組求得交點(diǎn)坐標(biāo)，過(guò)A點(diǎn)作AC⊥x軸于C，；利用勾股定理求得OA的長(zhǎng)，則AB即可求解；
（2）△AOC是等腰直角三角形，利用三角函數(shù)求得OC和OC的長(zhǎng)，則A的坐標(biāo)可以求得，然后利用待定系數(shù)法即可求解．

解答：解：過(guò)A點(diǎn)作AC⊥x軸于C，如圖，
（1）解方程組

y= 1 x y=x

，得

x1=1 y1=1

，

x2=-1 y2=-1

，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），B點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-1），
∴OC=AC=1，∴OA=

2

，OC=

2

，∴AB=2OA=2

2

，
∴雙曲線y=

1

x

的對(duì)徑是2

2

；
（2）∵雙曲線的對(duì)徑為8

2

，即AB=8

2

，OA=4

2

，
∵OA=

2

OC=

2

AC，
∴OC=AC=4，
∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（4，4），
把A（4，4）代入雙曲線y=

k

x

（k＞0）得k=16，
即k的值為16．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式，用待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式，是常用的一種解題方法．同學(xué)們要熟練掌握這種方法．