Question

【題目】（題文）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BE，作點(diǎn)A關(guān)于BE的對(duì)稱點(diǎn)F，且點(diǎn)F落在矩形ABCD的內(nèi)部，連結(jié)AF，BF，EF，過(guò)點(diǎn)F作GF⊥AF交AD于點(diǎn)G，設(shè) =n.

（1）求證：AE=GE；

（2）當(dāng)點(diǎn)F落在AC上時(shí)，用含n的代數(shù)式表示的值；

（3）若AD=4AB，且以點(diǎn)F，C，G為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，求n的值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）n=16或 8+4.

【解析】試題（1）因?yàn)?/span>GF⊥AF，由對(duì)稱易得AE=EF，則由直角三角形的兩個(gè)銳角的和為90度，且等邊對(duì)等角，即可證明E是AG的中點(diǎn)；（2）可設(shè)AE=a，則AD=na，即需要用n或a表示出AB，由BE⊥AF和∠BAE==∠D=90°，可證明△ABE~△DAC ， 則，因?yàn)?/span>AB=DC，且DA，AE已知表示出來(lái)了，所以可求出AB，即可解答；（3）求以點(diǎn)F，C，G為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)的n，需要分類討論，一般分三個(gè)，∠FCG=90°，∠CFG=90°，∠CGF=90°；根據(jù)點(diǎn)F在矩形ABCD的內(nèi)部就可排除∠FCG=90°，所以就以∠CFG=90°和∠CGF=90°進(jìn)行分析解答．

試題解析：（1）證明：由對(duì)稱得AE=FE，∴∠EAF=∠EFA，∵GF⊥AE，∴∠EAF+∠FGA=∠EFA+∠EFG=90°，∴∠FGA=∠EFG，∴EG=EF，∴AE=EG．

（2）解：設(shè)AE=a，則AD=na，當(dāng)點(diǎn)F落在AC上時(shí)（如圖1），由對(duì)稱得BE⊥AF，∴∠ABE+∠BAC=90°，∵∠DAC+∠BAC=90°，∴∠ABE=∠DAC，又∵∠BAE=∠D=90°，∴△ABE~△DAC ，∴

∵AB=DC，∴AB2=AD·AE=na·a=na2，∵AB>0，∴AB=，∴= =，∴=．

（3）解：設(shè)AE=a，則AD=na，由AD=4AB，則AB=．

當(dāng)點(diǎn)F落在線段BC上時(shí)（如圖2），EF=AE=AB=a，此時(shí)，∴n=4，∴當(dāng)點(diǎn)F落在矩形外部時(shí)，n>4．

∵點(diǎn)F落在矩形的內(nèi)部，點(diǎn)G在AD上，∴∠FCG<∠BCD，∴∠FCG<90°，若∠CFG=90°，則點(diǎn)F落在AC上，由（2）得=，∴n=16．

若∠CGF=90°（如圖3），則∠CGD+∠AGF=90°，∵∠FAG+∠AGF=90°，∴∠CGD=∠FAG=∠ABE，∵∠BAE=∠D=90°，∴△ABE~△DGC，∴ ，∴AB·DC=DG·AE，即．

解得 n=或n=＜4（不合題意，舍去），∴當(dāng)n=16或 時(shí)，以點(diǎn)F，C，G為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形．