Question

（2013•永州模擬）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD是⊙O直徑，E是CB延長線上一點(diǎn)，且∠BAE=∠C．
（1）求證：直線AE是⊙O的切線；
（2）若EB=AB，cosE=

4

5

，AE=24，求EB的長及⊙O的半徑．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圓周角定理以及直徑所對圓周角得出∠1+∠D=90°，進(jìn)而得出∠DAE=90°，即可得出直線AE是⊙O的切線；
（2）根據(jù)銳角三角函數(shù)關(guān)系得出EB=

EF

cosE

進(jìn)而得出即可，再設(shè)BD=4k，則AD=5k．在Rt△ABD中，由勾股定理得：AB=3k，即可得出k的值，進(jìn)而得出答案．

解答：（1）證明：連接BD．
∵AD是⊙O的直徑，
∴∠ABD=90°．
∴∠1+∠D=90°．
∵∠C=∠D，∠C=∠BAE，
∴∠D=∠BAE．
∴∠1+∠BAE=90°．
即∠DAE=90°．
∵AD是⊙O的直徑，
∴直線AE是⊙O的切線．

（2）解：過點(diǎn)B作BF⊥AE于點(diǎn)F，則∠BFE=90°．
∵EB=AB，
∴∠E=∠BAE，EF=

1

2

AE=

1

2

×24=12．
∵∠BFE=90°，cosE=

4

5

，
∴EB=

EF

cosE

=

5

4

×12=15．
∴AB=15．
由（1）∠D=∠BAE，又∠E=∠BAE，
∴∠D=∠E．
∵∠ABD=90°，
∴cosD=

BD

AD

=

4

5

．
設(shè)BD=4k，則AD=5k．
在Rt△ABD中，∠ABD=90°，由勾股定理得：
AB=

AD2-BD2

=3k，可求得k=5．
∴AD=25．
∴⊙O的半徑為

25

2

．

點(diǎn)評：此題主要考查了圓的綜合應(yīng)用以及銳角三角形有關(guān)計(jì)算和圓周角定理等知識，根據(jù)已知得出BE=

EF

cosE

是解題關(guān)鍵．