Question

點(diǎn)D、E、F分別是△ABC的邊AB、BC、CA的中點(diǎn)．
（1）如圖1，以BD、BE為邊分別作正△BMD和正△BEN，連接MF、FN、MN．求證：△FMN是等邊三角形．
（2）如圖2，以BD、BE為邊分別作正方形BPMD和正方形BQNE，連接MF、NF、MN，則∠MFN的度數(shù)是

 

．（直接寫出結(jié)論，不必說(shuō)明理由）
（3）以BD、BE為邊分別作正n邊形，設(shè)兩個(gè)正n邊形與點(diǎn)D、E相鄰的頂點(diǎn)分別是M、N（點(diǎn)M、N與點(diǎn)B是不同的點(diǎn)），連接MF、NF、MN得到△FMN，則∠MFN的度數(shù)是

 

（直接寫出結(jié)論，結(jié)果用含n的代數(shù)式表示，不必說(shuō)明理由）．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)求出DM=DB，BN=BE，∠BDM=60°，根據(jù)三角形的中位線推出平行四邊形DFEB，推出DM=EF，DF=EN，求出∠MDF=∠FEN，證△MDF≌△FEN，推出FM=FN，求出∠MFE=∠MDB即可；
（2）根據(jù)正方形性質(zhì)求出DM=DB，BN=BE，∠BDM=60°，根據(jù)三角形的中位線推出平行四邊形DFEB，推出DM=EF，DF=EN，求出∠MDF=∠FEN，證△MDF≌△FEN，推出FM=FN，求出∠MFE=∠MDB即可；
（3）根據(jù)正多邊形性質(zhì)求出DM=DB，BN=BE，∠BDM=60°，根據(jù)三角形的中位線推出平行四邊形DFEB，推出DM=EF，DF=EN，求出∠MDF=∠FEN，證△MDF≌△FEN，推出FM=FN，求出∠MFE=∠MDB即可．

解答：解：
（1）連接FD、FE，
∵△BDM和△BEN是等邊三角形，
∴∠MDB=60°，BD=DM，BE=BN，
∵D、F、E分別為邊AB、AC、BC的中點(diǎn)，
∴EF∥AB，DF∥BC，
∴DFEB是平行四邊形
∴FE=BD=MD，DF=BE=EN，∠BDF=∠FEB
∴∠MDF=∠FEN，
在△MDF和△FEN中

DM=EF ∠MDF=∠FEN DF=EN

∴△MDF≌△FEN（ASA），
∴FM=FN，
而∠MFN=180°-∠EFN-∠MFD-∠BDF
=180°-∠DMF-∠MFD-∠BDF
=∠MDB=60°
∴△FMN是等邊三角形；

（2）△FMN是等腰直角三角形，且∠MFN為90°，
理由是：連接FD、FE，
∵四邊形BDMP和四邊形BENQ是正方形，
∴∠MDB=90°，BD=DM，BE=BN，
∵D、F、E分別為邊AB、AC、BC的中點(diǎn)，
∴EF∥AB，DF∥BC，
∴DFEB是平行四邊形
∴FE=BD=MD，DF=BE=EN，∠BDF=∠FEB
∴∠MDF=∠FEN，
在△MDF和△FEN中

DM=EF ∠MDF=∠FEN DF=EN

∴△MDF≌△FEN（ASA），
∴FM=FN，
而∠MFN=180°-∠EFN-∠MFD-∠BDF
=180°-∠DMF-∠MFD-∠BDF
=∠MDB=90°，
故答案為：90°；

（3）∠MFN=

(n-2)180°

n

，
理由是：由（1）（2）知：∠MFN=180°-∠EFN-∠MFD-∠BDF
=180°-∠DMF-∠MFD-∠BDF
=∠MDB
=

(n-2)180°

n

．
故答案為：

(n-2)180°

n

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正多邊形性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的中位線性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，題目比較典型，證明過(guò)程類似．