如圖,在平面直角坐標系xOy中,拋物線與y軸交于點B,過點B作x軸的平行線BC,交拋物線于點C,連接AC.現(xiàn)有兩動點P,Q分別從0,C兩點同時出發(fā),點P以每秒4個單位的速度沿OA向終點A移動,點Q以每秒1個單位速度沿CB向點B移動,點P停止運動時,點Q也同時停止運動,線段OC,PQ相交于點D,過點D作DE∥OA,交CA于點E,射線QE交x輔于點F.設(shè)動點P,Q移動的時間為t(單位:秒).

1.求A,B,C三點的坐標和拋物線的頂點坐標;

2.當O<t<時’△PQF的面積是否為定值?若是,求出此定值,若不是,說明理由

3.當t為何值時,△PQF為等腰三角形?請寫出解答過程.

 

【答案】

 

1.

令y=0,得:x2-8x-180=0

即:(x-18)(x+10)=0

所以:x1=18;x2=-10

所以:A(18,0)                                      (1分)

中,令x=10得y=10

即:B(0,-10)                                       (2分)

由于BC//OA

得:

X=8或x=0,

即:C(8,10)                                        (3分)

頂點坐標為(4,

于是,A(18,0),B(0,-10), C(8,-10),頂點坐標為(4,

2.設(shè)點P運動t秒,則OP=4t.CQ=t,0<t<4.5               (5分

說明點P在線段OA上,且不與點O,A重合。

由于QC//OP知 ∆QDC~∆PDO,  故

所以:AF=4t=OP

所以:PF=PA+AF=PA+OP=18                          (6分)

又點Q到直線PF的距離d=10

所以SPQF=1/2 PF×d=1/2 ×18×10=90

于是∆PQF的面積總為90;                                 (8分)

3.由上知P(4t,0) ,F(18+4t,0);

Q(8-t,-10),0<t<4.5

構(gòu)造直角三角形后易得.

                (9分)

①若FP=PQ,即

得:

因為:0<t<4.5

所以:

(不合題意,舍去)                          (10分)

②若PQ=QF,即,無0<t<4.5的t 的滿足條件。(11分)

③若PF=QF,即。得

5t+10=

又0<t<4.5,

所以

綜上所述,當時,∆PQR是等腰三角形。            (12分)

【解析】(1)已知拋物線的解析式,當x=0時,可求得B的坐標;由于BC∥OA,把B的縱坐標代入拋物線的解析式,可求出C的坐標;當y=0時,可求出A的坐標.求頂點坐標時用公式法或配方法都可以;

(2)當0<t<時,根據(jù)OA=18,P點的速度為4單位/秒,可得出P點總在OA上運動.△PQF中,Q到PF的距離是定值即OB的長,因此只需看PF的值是否有變化即可得出SPQF是否為定值,已知QC∥PF,根據(jù)平行線分線段成比例定理可得出:,因此可得出OP=AF,那么PF=PA+AF=PA+OP=OA,由于OA的長為定值即PF的長為定值,因此△PQF的面積是不會變化的.其面積的值可用OA•OB求出;

(4)可先用t表示出P,F(xiàn),Q的坐標,然后根據(jù)坐標系中兩點間的距離公式得出PF2,PQ2,F(xiàn)Q2,進而可分三種情況進行討論:

①△PFQ以PF為斜邊.則PF2=PQ2+FQ2,可求出t的值.

②△PFQ以PQ為斜邊,方法同①

③△PFQ以FQ為斜邊,方法同①.

綜合三種情況即可得出符合條件的t的值

 

練習冊系列答案
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BD
AB
=
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,求這時點P的坐標.

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5
29
5
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k
x
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k
x
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(3)當△OCP是等腰三角形時,請寫出點P的坐標(不要求過程,只需寫出結(jié)果).

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