Question

已知：等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=6，將線段DC繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段DC′．
（1）求△ADC′的面積；
（2）若tan∠DAC′=

2

5

，求AB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）證得△CFD≌△C′ED后得到EC′=FC=2，然后計(jì)算三角形的面積即可；
（2）根據(jù)上題證得的全等三角形和tan∠DAC′=

2

5

求得BD的長(zhǎng)，再利用勾股定理求得CD的長(zhǎng)即可．

解答：解：（1）作出線段DC′，（1分）
過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于F，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于H，
∵四邊形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，
易證FC=BH=

1

2

(6-2)=2，
∠EDF=∠ADF=90°，
過(guò)點(diǎn)C′作C′E垂直于AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，
∴∠DEC′=∠DFC=90°，
∵線段DC繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段DC′，
∴∠CDC′=90°，DC=DC′，
∴∠1+∠3=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠2，
∴△CFD≌△C′ED，（2分）
∴EC'=FC=2，
∴S△ADC′=

1

2

AD•C′E=

1

2

×2×2=2；（3分）

（2）在Rt△AEC′中，tan∠DAC′=

2

5

，EC′=2，
∴EA=5，
∵AD=2，
∴ED=3，（4分）
由△CFD≌△C′ED得：DF=ED=3，
在Rt△DFC中，由勾股定理得：CD=

13

，
∴AB=CD=

13

．（5分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰梯形的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，是一道不錯(cuò)的幾何綜合題．