Question

17．如圖，直角坐標(biāo)系中，A（0，4），B（4，0），點(diǎn)M、N分別在y軸和x軸上，N點(diǎn)在B點(diǎn)右側(cè)，且AM=BN．
（1）求S_△AOB；
（2）如圖①，若點(diǎn)M在AO上，求證：CM=CN；
（3）如圖②，若點(diǎn)M在y軸負(fù)半軸上，（2）中的結(jié)論是否成立，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）由A（0，4），B（4，0），得到OA=OB=4，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論；
（2）過M作MD∥X軸交AB于D，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠MDC=∠NBC，∠DMC=∠BNC，通過△AMD是等腰直角三角形，得到AM=MD，等量代換得到MD=BN，推出△CAM≌△CNB（ASA），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（3）過M作MF⊥Y軸交AB的延長(zhǎng)線于F，則MF∥X軸，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠BNC=∠FMC，∠NBC=∠F，根據(jù)△AMF是等腰直角三角形，得到AM=MF，等量代換得到MF=BN，推出△BNC≌△FMC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵A（0，4），B（4，0），
∴OA=OB=4，
∴S△OAB=$\frac{1}{2}$•OA•OB=8；

（2）如圖①，過M作MD∥X軸交AB于D，
∴∠MDC=∠NBC，∠DMC=∠BNC，
∵∠OAB=45°，
∴△AMD是等腰直角三角形，
∴AM=MD，
∵AM=BN，
∴MD=BN，
在△CAM與△CNB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠MDC=∠CBN}\\{∠DMC=∠CNB}\\{MD=BN}\end{array}\right.$，
∴△CAM≌△CNB（ASA），
∴CM=CN；

（3）CM=CN成立；
理由：如圖②，過M作MF⊥Y軸交AB的延長(zhǎng)線于F，則MF∥X軸，
∴∠BNC=∠FMC，∠NBC=∠F，
∵∠OAB=45°，
∴△AMF是等腰直角三角形，
∴AM=MF，
∵AM=BN，
∴MF=BN，
在△BNC與△FMC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BNC=∠FMC}\\{∠NBC=∠F}\\{MF=BN}\end{array}\right.$，
∴△BNC≌△FMC，
∴CM=CN．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．