Question

如圖，直線y=4x+4與x軸、y軸相交于B、C兩點，拋物線y=ax²-2ax+c（a≠0）過點B、C，且與x軸另一個交點為A，以O(shè)C、OA為邊作矩形OADC，CD交拋物線于點G．
（1）求拋物線的解析式以及點A的坐標；
（2）已知直線x=m交OA于點E，交CD于點F，交AC于點M，交拋物線（CD上方部分）于點P，請用含m的代數(shù)式表示PM的長；
（3）在（2）的條件下，聯(lián)結(jié)PC，若△PCF和△AEM相似，求m的值．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)直線的解析式易求B，C的坐標將，再把其坐標分別代入y=ax²-2ax+c，即可求出拋物線的解析式，設(shè)y=0，解方程即可求出A的坐標；
（2）先根據(jù)A、C的坐標，用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，進而根據(jù)拋物線和直線AC的解析式分別表示出點P、點M的坐標，即可得到PM的長；
（3）由于∠PFC和∠AEM都是直角，F(xiàn)和E對應(yīng)，則若以P、C、F為頂點的三角形和△AEM相似時，分兩種情況進行討論：①△PFC∽△AEM，②△CFP∽△AEM；可分別用含m的代數(shù)式表示出AE、EM、CF、PF的長，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊的比相等列出比例式，求出m的值．

解答：解：（1）∵直線y=4x+4與x軸、y軸相交于B、C兩點，
∴C坐標為（0，4），
設(shè)y=0，則x=-1，
∴B坐標為（-1，0），
∵拋物線y=ax²-2ax+c（a≠0）過點B、C，
∴

0=a+2a+c 4=c

，
解得：

a=- 4 3 c=4

，
∴拋物線的解析式為y=-

4

3

x²+

8

3

x+4，
設(shè)y=0，0=-

4

3

x²+

8

3

x+4，
解得：x=-1或3，
∴A的坐標為：（3，0）；
（2）設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，
∵A（3，0），點C（0，4），
∴

3k+b=0 b=4

，解得

k=- 4 3 b=4

，
∴直線AC的解析式為y=-

4

3

x+4．
∵點M的橫坐標為m，點M在AC上，
∴M點的坐標為（m，-

4

3

m+4），
∵點P的橫坐標為m，點P在拋物線y=-

4

3

x²+

8

3

x+4上，
∴點P的坐標為（m，-

4

3

m²+

8

3

m+4），
∴PM=PE-ME=（-

4

3

m²+

8

3

m+4）-（-

4

3

m+4）=-

4

3

m²+4m，
即PM=-

4

3

m²+4m；

（3）在（2）的條件下，連結(jié)PC，在CD上方的拋物線部分存在這樣的點P，使得以P、C、F為頂點的三角形和△AEM相似．理由如下：
由題意，可得AE=3-m，EM=-

4

3

m+4，CF=m，PF=-

4

3

m²+

8

3

m+4-4=-

4

3

m²+

8

3

m．
若以P、C、F為頂點的三角形和△AEM相似，分兩種情況：
①若△PFC∽△AEM，則PF：AE=FC：EM，
即（-

4

3

m²+

8

3

m）：（3-m）=m：（-

4

3

m+4），
∵m≠0且m≠3，
∴m=

23

16

．
②若△CFP∽△AEM，則CF：AE=PF：EM，
即m：（3-m）=（-

4

3

m²+

8

3

m）：（-

4

3

m+4），
∵m≠0且m≠3，
∴m=1．
綜上所述，存在這樣的點P使△PFC與△AEM相似．此時m的值為

23

16

或1．

點評：此題是二次函數(shù)的綜合題，其中涉及到運用待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的解析式，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形、等腰三角形的判定，難度適中．要注意的是當相似三角形的對應(yīng)邊和對應(yīng)角不明確時，要分類討論，以免漏解．