如圖,直線y=4x+4與x軸、y軸相交于B、C兩點,拋物線y=ax2-2ax+c(a≠0)過點B、C,且與x軸另一個交點為A,以O(shè)C、OA為邊作矩形OADC,CD交拋物線于點G.
(1)求拋物線的解析式以及點A的坐標;
(2)已知直線x=m交OA于點E,交CD于點F,交AC于點M,交拋物線(CD上方部分)于點P,請用含m的代數(shù)式表示PM的長;
(3)在(2)的條件下,聯(lián)結(jié)PC,若△PCF和△AEM相似,求m的值.
考點:二次函數(shù)綜合題
專題:
分析:(1)根據(jù)直線的解析式易求B,C的坐標將,再把其坐標分別代入y=ax2-2ax+c,即可求出拋物線的解析式,設(shè)y=0,解方程即可求出A的坐標;
(2)先根據(jù)A、C的坐標,用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式,進而根據(jù)拋物線和直線AC的解析式分別表示出點P、點M的坐標,即可得到PM的長;
(3)由于∠PFC和∠AEM都是直角,F(xiàn)和E對應(yīng),則若以P、C、F為頂點的三角形和△AEM相似時,分兩種情況進行討論:①△PFC∽△AEM,②△CFP∽△AEM;可分別用含m的代數(shù)式表示出AE、EM、CF、PF的長,根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊的比相等列出比例式,求出m的值.
解答:解:(1)∵直線y=4x+4與x軸、y軸相交于B、C兩點,
∴C坐標為(0,4),
設(shè)y=0,則x=-1,
∴B坐標為(-1,0),
∵拋物線y=ax2-2ax+c(a≠0)過點B、C,
0=a+2a+c
4=c
,
解得:
a=-
4
3
c=4
,
∴拋物線的解析式為y=-
4
3
x2+
8
3
x+4,
設(shè)y=0,0=-
4
3
x2+
8
3
x+4,
解得:x=-1或3,
∴A的坐標為:(3,0);
(2)設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b,
∵A(3,0),點C(0,4),
3k+b=0
b=4
,解得
k=-
4
3
b=4

∴直線AC的解析式為y=-
4
3
x+4.
∵點M的橫坐標為m,點M在AC上,
∴M點的坐標為(m,-
4
3
m+4),
∵點P的橫坐標為m,點P在拋物線y=-
4
3
x2+
8
3
x+4上,
∴點P的坐標為(m,-
4
3
m2+
8
3
m+4),
∴PM=PE-ME=(-
4
3
m2+
8
3
m+4)-(-
4
3
m+4)=-
4
3
m2+4m,
即PM=-
4
3
m2+4m;

(3)在(2)的條件下,連結(jié)PC,在CD上方的拋物線部分存在這樣的點P,使得以P、C、F為頂點的三角形和△AEM相似.理由如下:
由題意,可得AE=3-m,EM=-
4
3
m+4,CF=m,PF=-
4
3
m2+
8
3
m+4-4=-
4
3
m2+
8
3
m.
若以P、C、F為頂點的三角形和△AEM相似,分兩種情況:
①若△PFC∽△AEM,則PF:AE=FC:EM,
即(-
4
3
m2+
8
3
m):(3-m)=m:(-
4
3
m+4),
∵m≠0且m≠3,
∴m=
23
16

②若△CFP∽△AEM,則CF:AE=PF:EM,
即m:(3-m)=(-
4
3
m2+
8
3
m):(-
4
3
m+4),
∵m≠0且m≠3,
∴m=1.
綜上所述,存在這樣的點P使△PFC與△AEM相似.此時m的值為
23
16
或1.
點評:此題是二次函數(shù)的綜合題,其中涉及到運用待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的解析式,矩形的性質(zhì),相似三角形的判定和性質(zhì),直角三角形、等腰三角形的判定,難度適中.要注意的是當相似三角形的對應(yīng)邊和對應(yīng)角不明確時,要分類討論,以免漏解.
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6
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AC
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=
4
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(2)將統(tǒng)計圖補充完整.
組別 人數(shù) 百分比
 145.5~149.5 1 2%
 149.5~153.5 4 8%
153.5~157.5 m 40%
157.5~161.5 15 30%
161.5~165.5 8 n
165.5~169.5 2 4%
合計 50 100%

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化簡:
3-2
2

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