Question

半徑為2cm的⊙O與邊長(zhǎng)為2cm的正方形ABCD在水平直線l的同側(cè)，⊙O與l相切于點(diǎn)F，DC在l上，若BE切⊙O于點(diǎn)E．
（Ⅰ）如圖1，當(dāng)點(diǎn)A在⊙O上時(shí)，∠EBA=

 

度；
（Ⅱ）如圖2，當(dāng)E，A，D三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，求線段OA的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：

分析：（Ⅰ）根據(jù)切線的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)得出∠EBA的度數(shù)即可；
（Ⅱ）利用切線的性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)得出

OA

OE

=

OE

OB

，進(jìn)而求出OA即可．

解答：解：（Ⅰ）∵半徑為2cm的與⊙O邊長(zhǎng)為2cm的正方形ABCD在水平直線l的同側(cè)，當(dāng)點(diǎn)A在⊙O上時(shí)，過(guò)點(diǎn)B作的一條切線BE，E為切點(diǎn)，
∴OB=4，EO=2，∠OEB=90°，
∴∠EBA的度數(shù)是：30°；
故答案為：30°．
                                                 
（Ⅱ）∵直線l與⊙O相切于點(diǎn)F，
∴∠OFD=90°，
∵在正方形ADCB中，∠ADC=90°，
∴OF∥AD，
∵OF=AD=2cm，
∴四邊形OFDA為平行四邊形，
∵∠OFD=90°，
∴平行四邊形OFDA為矩形，
∴DA⊥AO，
∵在正方形ABCD中，DA⊥AB，
∴O，A，B三點(diǎn)在同一直線上，
∵E，A，D三點(diǎn)在同一直線上，
∴EA⊥OB，
∵∠OEB=90°，
∴∠OEB=∠EAO，
∵∠EOB=∠AOE，
∴△EOA∽△BOE，
∴

OA

OE

=

OE

OB

，即OE²=OA•OB，
∴OA（2+OA）=4，
解得 OA=（-1+

5

）cm（負(fù)值已舍去）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了切線的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)．解題時(shí)，注意：圓的綜合應(yīng)用以及相似三角形的判定與性質(zhì)．