Question

如圖1，△DEF的頂點D在△ABC的邊BC上（不與B、C重合），且∠BAC+∠EDF=180°，AB=k•DF，AC=k•DE，點Q為EF的中點，直線DQ交直線AB于點P．
（1）猜想∠BPD與∠FDB的關系，并加以證明；
（2）當△DEF繞點D旋轉，其他條件不變，（1）中的結論是否始終成立？若成立，請你寫出真命題；若不成立請你在圖2中畫出相應的圖形，并給出正確的結論（不需要證明）．

Answer 1

解：（1）∠BPD與∠FDB的關系是互補；
證明：如圖1，延長ED至M，使得DM=DE，連接FM；
則∠BAC=∠FDM=180°-∠EDF；
∵AB=k•DF，AC=k•DE，即，
∴，
∴△BAC∽△FDM，得∠M=∠C；
由于D、Q分別是EM、EF的中點，所以DQ是△EMF的中位線，得：
DQ∥MF，則∠M=∠1=∠C；
∵∠BAC+∠EDF=180°，
∴A、D、G、H四點共圓，得∠3=∠2；
由三角形的外角性質知：∠3=∠1+∠BPD，∠2=∠HDC+∠C；
∵∠1=∠C，∠3=∠2，
∴∠BPD=∠HDC，即∠BPD與∠FDB互補．


（2）分兩種情況討論：
①當點Q在直線BC上方時，結論與（1）相同，證法一致；
②當點Q在直線BC下方時，如圖2；
延長ED至M，使得DM=DE，連接FM；
同（1）可證得：△FDM∽△BAC，得∠7=∠B；
延長FD交AB于H，則∠4=∠6；
同（1）可知：DQ是△EMF的中位線，得：∠7=∠6=∠4，故∠B=∠4；
由三角形的外角性質知：∠BPD=∠5+∠4，∠FDB=∠B+∠5，
∴∠BPD=∠FDB；
綜上可知：當點Q在直線BC上方時，∠BPD、∠FDB互補；當點Q在直線BC下方時，∠BPD、∠FDB相等．
分析：（1）此題要通過構造相似三角形求解；延長ED到M，使得ED=DM，根據(jù)AB、DF以及AC、DM的比例關系，即可證得△BAC∽△FDM，得∠M=∠C，設DE與AB的交點為G，DF與AC的交點為N，則∠AND=∠FDC+∠C，而根據(jù)∠BAC+∠EDF=180°可證得A、G、D、M四點共圓，即∠BGD=∠BPD+∠EDQ，而DQ是△EMF的中位線，可得DQ∥MF，即∠EDQ=∠M=∠C，通過等量代換，可證得∠BPD=∠FDC，即∠BPD與∠FDB互補．
（2）當點Q在直線BC的上方時，（1）的結論依然成立，但是當點Q在直線BC的下方時，情況有所不同；
思路同（1），仍然是延長ED到M，使得ED=DM，同（1）證得△FDM∽△BAC，設直線DF與AB的交點為H，那么有DQ∥MF可得：∠F=∠B=∠QDF=∠HDP，根據(jù)三角形的外角性質得：∠FDB=∠BHD+∠B，∠BPD=∠BHD+∠PDH，通過等量代換即可證得∠FDB=∠BPD．
點評：此題主要考查的是相似三角形的判定和性質，還涉及到四點共圓的判定方法、圓的內接四邊形的性質、三角形的外角性質、三角形中位線定理等知識的綜合應用，正確地構造出相似三角形是解答此題的關鍵，難度較大．